Question

6．假設(shè)地球是一半徑為R，質(zhì)量分布均勻的球體，一礦井深度為d．已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零．礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為$1-\fracpyhsbrq{R}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產(chǎn)生的加速度，礦井深度為d的井底的加速度相當(dāng)于半徑為R-d的球體在其表面產(chǎn)生的加速度，根據(jù)地球質(zhì)量分布均勻得到加速度的表達(dá)式，再根據(jù)半徑關(guān)系求解即可．

解答 解：令地球的密度為ρ，則在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
由于地球的質(zhì)量為：M=ρ$\frac{4}{3}$πR³
所以重力加速度的表達(dá)式可寫成：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{\frac{4}{3}Gρπ{R}^{3}}{{R}^{2}}$=$\frac{4}{3}$GρπR．
根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，故在深度為d的井底，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R-d）的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故井底的重力加速度為：g′=$\frac{4}{3}$Gρπ（R-d）．
所以有：$\frac{g'}{g}$=$\frac{R-d}{R}$=$1-\fracji9cq9b{R}$
故答案為：$1-\fracjw0a59k{R}$

點(diǎn)評 本題考查萬有引力定律的應(yīng)用，要注意抓住在地球表面重力和萬有引力相等，在礦井底部，地球的重力和萬有引力相等，要注意在礦井底部所謂的地球的質(zhì)量不是整個地球的質(zhì)量而是半徑為（R-d）的球體的質(zhì)量．