Question

17．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系xOy的第二象限內(nèi)存在場強(qiáng)大小為E，方向與x軸平行且沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，在第一、三、四象限內(nèi)存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場．現(xiàn)將一擋板放在第二象限內(nèi)，其與x，y軸的交點(diǎn)M、N到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離均為2L．一質(zhì)量為m，電荷量絕對(duì)值為q的帶負(fù)電粒子在第二象限內(nèi)從距x軸為L、距y軸為2L的A點(diǎn)由靜止釋放，當(dāng)粒子第一次到達(dá)y軸上C點(diǎn)時(shí)電場突然消失．若粒子重力不計(jì)，粒子與擋板相碰后電荷量及速度大小不變，碰撞前后，粒子的速度與擋板的夾角相等（類似于光反射時(shí)反射角與人射角的關(guān)系）．求：
（1）C點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
（2）若要使粒子再次打到檔板上，磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值為多少？
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度為多大時(shí)，粒子從A點(diǎn)出發(fā)與檔板總共相碰兩次后到達(dá)C點(diǎn)？這種情況下粒子從A點(diǎn)出發(fā)到第二次到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間多長？

Answer 1

分析 （1）粒子向沿著+x方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，然后碰撞后做類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理和類似平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解即可；
（2）若要使粒子再次打到檔板上，臨界情況是軌跡圓經(jīng)過C點(diǎn)，畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解軌道半徑，然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值；
（3）畫出臨界軌跡，粒子經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)后射向極板并反彈，再次經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后沿著直線射向C點(diǎn)，結(jié)合幾何關(guān)系求解出軌道半徑，然后分階段求解運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)粒子與板作用前瞬間速率為v₀，由動(dòng)能定理，有：
qEL=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$
粒子與板碰撞后在電場中做類似平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)到達(dá)y軸時(shí)與C點(diǎn)的豎直距離為y，
在x軸方向，有：L=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²
在y軸方向，有：y=v₀t 
由以上二式得到：t=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，y=2L
故粒子第一次到達(dá)y軸時(shí)距坐標(biāo)原點(diǎn)為：y′=y+L=3L
（2）粒子到C點(diǎn)時(shí)，x軸方向的速度分量為：v_x=at=$\frac{qE}{m}$•$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$
此時(shí)速度v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$
設(shè)v與x軸正方向的夾角為θ，有：
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，故θ=45°
粒子進(jìn)入磁場后將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過270°后打在板上的N點(diǎn)時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁為最大，有：r₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L
又qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，
故B₁=$\frac{mv}{q{r}_{1}}$=2$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$
（3）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B₂時(shí)，粒子做半徑為r₂的圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)y軸上的O點(diǎn)之后，沿著直線運(yùn)動(dòng)打到板上，故：r₂=$\frac{3}{2}$L
同理B₂=$\frac{mv}{q{r}_{2}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$
此后粒子返回O點(diǎn)，進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由對(duì)稱性可知粒子將到達(dá)D點(diǎn)，接著做直線運(yùn)動(dòng)再次到達(dá)C點(diǎn)，從A到板，有：
L=$\frac{1}{2}$$\frac{Eq}{m}$t${\;}_{1}^{2}$，
故t₁=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₂=$\frac{3}{2}$T=$\frac{9π}{4}$$\sqrt{\frac{2mL}{Eq}}$
從O到板再返回O點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₃=$\frac{2\sqrt{2}L}{v}$=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
從x軸上D點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間為：t₄=$\frac{3\sqrt{2}L}{v}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
故t_總=t+t₁+t₂+t₃+t₄=$\frac{9（2+π）}{4}$$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
答：（1）C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（0，3L）．
（2）若要使粒子再次打到檔板上，磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值為2$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$時(shí)，粒子與檔板總共相碰兩次后到達(dá)C點(diǎn)；這種情況下粒子從A點(diǎn)出發(fā)到第二次到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間為t₄=$\frac{9（2+π）}{4}$$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，分直線加速、類似平拋運(yùn)動(dòng)、勻速圓周運(yùn)動(dòng)和勻速直線運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行分析，切入點(diǎn)是畫出臨界軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系得到軌道半徑．