Question

【題目】如圖甲所示的裝置是由直線加速器改裝而成，由N個(gè)長(zhǎng)度逐個(gè)增大的金屬圓筒沿水平軸線排列成一串，圖中代表性地畫了幾個(gè)圓筒，圓筒的兩底面中心開有小孔，一根絕緣光滑細(xì)管從中心小孔穿過，各筒相間地連接到頻率為f、最大電壓值為U0的電源的兩端，M、N兩點(diǎn)間的電勢(shì)差UMN隨時(shí)間變化如圖乙所示，現(xiàn)有一電量為+q、質(zhì)量為m、直徑略小于細(xì)管內(nèi)徑的小球，沿細(xì)管左端射入，并將在圓筒間的縫隙處受到電場(chǎng)力的作用而加速（設(shè)圓筒內(nèi)部沒有電場(chǎng)）。縫隙的寬度很小，小球穿過縫隙的時(shí)間可以不計(jì)。已知t=0時(shí)刻小球以v1速度進(jìn)入第一個(gè)圓筒左端，小球多次被加速后通過最右側(cè)圓筒，最后從A點(diǎn)水平向右飛出并以速度v2垂直于偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)方向射入一個(gè)方向豎直向下、場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，在B點(diǎn)速度方向與電場(chǎng)線成120°角.求：

(1)小球從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間tAB；

(2) A、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差UAB；

(3)為使小球從A點(diǎn)射出獲得最大能量，各個(gè)圓筒的長(zhǎng)度應(yīng)滿足什么條件？（用n的形式來表示）

Answer 1

【答案】(1)；(2) ；(3)，(n=1 ,2.3……)。

【解析】

(1)小球在電場(chǎng)中受電場(chǎng)力和重力作用,根據(jù)牛頓第二定律可得

在B點(diǎn)設(shè)小球沿電場(chǎng)方向的速度大小為vy,則有：

又因?yàn)椋?/span>

聯(lián)立解得：

(2)小球豎直位移：

解得：

A、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差

解得：

(3)為了使小球獲得最大能量，要求小球每次穿過縫隙時(shí)，前一個(gè)圓筒的電勢(shì)比后一個(gè)的電勢(shì)高，這就要求小球穿過每個(gè)圓筒的時(shí)間恰好等于交變電流的半個(gè)周期，設(shè)第N個(gè)圓筒長(zhǎng)為Ln，則動(dòng)能定理得：

解得：

圓筒的長(zhǎng)度

聯(lián)立解得：，(n=1 ,2.3……)