Question

9．據探測，宇宙中可能存在一種遠離其他恒星的四星系統(tǒng)，其中有一種四星系統(tǒng)的模型如圖所示，在邊長為R的正三角形的三個頂點上各有一質量為m的星體，在三角形的中心有質量為M的另一顆星，處在三角形頂點上的三顆星均繞處于靜止狀態(tài)的位于三角形中心的星體做勻速圓周運動，不考慮其他星體對該系統(tǒng)的影響，已知引力常量為G，求三角形頂點上的星體做勻速圓周運動的周期和線速度．

Answer 1

分析 先寫出任意兩個星星之間的萬有引力，求每一顆星星受到的合力，該合力提供它們的向心力．
然后用R表達出它們的軌道半徑，最后寫出用周期和線速度表達的向心力的公式，整理即可的出結果．

解答 解：對頂點上的任一星體受到其它星體的萬有引力，有：${F}_{1}^{\;}={F}_{2}^{\;}=G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}$
勻速圓周運動的軌道半徑為：$r=\frac{\frac{R}{2}}{cos30°}=\frac{R}{\sqrt{3}}$
${F}_{3}^{\;}=G\frac{Mm}{（\frac{R}{\sqrt{3}}）_{\;}^{2}}=3G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
對任一星體受到的合力為：${F}_{合}^{\;}=\sqrt{3}{F}_{1}^{\;}+{F}_{3}^{\;}$=$\frac{\sqrt{3}G{m}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}+3G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
根據萬有引力提供向心力，有：$\frac{\sqrt{3}G{m}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}+3G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得：$v=\sqrt{\frac{Gm}{R}+\frac{\sqrt{3}GM}{R}}=\sqrt{\frac{G（m+\sqrt{3}M）}{R}}$
周期：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πR}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{R}{G（m+\sqrt{3}M）}}$=$2πR\sqrt{\frac{R}{G（3m+3\sqrt{3}M）}}$
答：三角形頂點上的星體做勻速圓周運動的周期$2πR\sqrt{\frac{R}{G（3m+3\sqrt{3}M）}}$和線速度$\sqrt{\frac{G（m+\sqrt{3}M）}{R}}$

點評 解決該題首先要理解模型所提供的情景，然后能夠列出合力提供向心力的公式，才能正確解答題目．