Question

20．如圖所示，光滑的輕桿可以繞其一端O，在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，桿上穿著兩個(gè)質(zhì)量均為m=1kg的小球（小球均視為質(zhì)點(diǎn)，桿與小球之間無摩擦力）．小球A與轉(zhuǎn)軸O之間的距離為L=0.3m，小球A與小球B之間距離也為L，長為L的輕繩一端連接小球A另一端連接在O點(diǎn)，小球A和小球B也用長為L的輕繩連接（圖中未畫出輕繩），兩根輕繩能承受的最大張力相同，均為T_max=110N．（g=10m/s²）
（1）若桿的角速度ω=6rad/s，求當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平方向時(shí)，OA繩上的張力T₁和AB繩上的張力T₂．
（2）在兩根輕繩均伸直而不拉斷的情況下，桿在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度的范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平方向時(shí)，．B靠繩子AB的拉力提供向心力，A靠兩繩子拉力的合力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律求出OA繩上的張力T₁和AB繩上的張力T₂．
（2）在最低點(diǎn)，繩子的拉力最大，結(jié)合牛頓第二定律求出角速度的最大值．在最高點(diǎn)，抓住繩子拉力為零，結(jié)合牛頓第二定律求出最小角速度，從而得出角速度的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平方向時(shí)，對B分析，根據(jù)牛頓第二定律得，${T}_{2}=m•2L{ω}^{2}$=1×0.6×36J=21.6N，
對A分析，根據(jù)牛頓第二定律得，${T}_{1}-{T}_{2}=mL{ω}^{2}$，解得${T}_{1}={T}_{2}+mL{ω}^{2}$=21.6+1×0.3×36N=32.4N，
（2）當(dāng)桿子處于豎直向下位置時(shí)，繩子的拉力最大，
對A，有：${T}_{max}-mg-T=mL{{ω}_{max}}^{2}$，對B，有：$T-mg=m•2L{{ω}_{max}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立解得ω_max=10rad/s．
在最高點(diǎn)，當(dāng)B靠重力提供向心力時(shí)，角速度最小，根據(jù)牛頓第二定律得，$mg=m•2L{{ω}_{min}}^{2}$，
解得${ω}_{min}=\sqrt{\frac{g}{2L}}=\sqrt{\frac{10}{0.6}}$≈4.1rad/s．
則角速度的范圍為4.1rad/s≤ω≤10rad/s．
答：（1）當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平方向時(shí)，OA繩上的張力為32.4N，AB繩的張力為21.6N．
（2）桿在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度的范圍為4.1rad/s≤ω≤10rad/s．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，難度中等．