Question

1．如圖所示，一個(gè)帶有光滑$\frac{1}{4}$圓弧的滑板A，總質(zhì)量為m_A=3kg，其圓弧部分與水平部分相切于P，水平部分PQ長(zhǎng)為L(zhǎng)=3.75m，水平部分粗糙．開始時(shí)A靜止在光滑水平面上，有一質(zhì)量為m_B=2kg的小木塊B從滑板A的右端以水平初速度V₀=5m/s滑上A，小木塊B與滑板A的水平部分之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.15，小木塊B滑到滑板A的左端，并沿著圓弧部分向上滑行一段距離后返回，最終停在滑板A的水平部分上．求：
（1）A、B相對(duì)靜止時(shí)的速度大��；
（2）B在A的圓弧部分能上升的最大高度；
（3）若B最終停在A的水平部分的R點(diǎn)，則R點(diǎn)距P點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)水平方向滑塊B與滑板A系統(tǒng)動(dòng)量守恒求得AB相對(duì)靜止時(shí)的速度大��；
（2）B在A上上升到最大高度時(shí)，速度與A相同，根據(jù)能量守恒定律可以求出B上升的最大高度；
（3）根據(jù)動(dòng)量守恒求得AB共同速度，再根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒求出B在粗糙面上滑動(dòng)的距離，從而求得R距P點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）AB組成的系統(tǒng)水平方向不受外力作用，故在B滑上A時(shí)系統(tǒng)在水平方向滿足動(dòng)量守恒，取水平向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律有：
m_Bv₀=（m_A+m_B）v
可得AB共同的速度大小v=$\frac{{m}_{B}}{{m}_{A}+{m}_{B}}{v}_{0}$=$\frac{2}{2+3}×5m/s=2m/s$
（2）當(dāng)B在A的圓弧部分上升到最大高度時(shí)，AB具有共同的速度，根據(jù)動(dòng)量守恒可知，此時(shí)AB具有共同的速度v=2m/s，從B滑上A至B滑上最高處時(shí)，根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律有：
$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}^{2}+{m}_{B}gh+μ{m}_{B}gL=\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{0}^{2}$
據(jù)此可得B在A的圓弧部分上升的最大高度為：
$h=\frac{\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{0}^{2}-μ{m}_{B}gL-\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}^{2}}{{m}_{B}g}$=$\frac{\frac{1}{2}×2×{5}^{2}-0.15×2×10×3.75-\frac{1}{2}（2+3）×{2}^{2}}{2×10}m$=0.1875m
（3）當(dāng)AB相對(duì)靜止時(shí)，AB具有共同的速度v=2m/s，在此過程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能因摩擦轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，故有：
$μ{m}_{B}gx=\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}^{2}$
據(jù)此可得，B在A上水平粗糙部分滑動(dòng)的總距離x=$\frac{\frac{1}{2}×2×{5}^{2}-\frac{1}{2}（2+3）×{2}^{2}}{0.15×2×10}m=5m$
因?yàn)镻Q=3.75m，所以B在A上靜止的位置距P點(diǎn)的距離為PR=x-PQ=5-3.75m=1.25m．
答：（1）A、B相對(duì)靜止時(shí)的速度大小為2m/s；
（2）B在A的圓弧部分能上升的最大高度為0.1875m；
（3）若B最終停在A的水平部分的R點(diǎn)，則R點(diǎn)距P點(diǎn)的距離為1.25m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是抓住系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，并能靈活根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律分析求解滑塊B在A上的運(yùn)動(dòng)情況．