Question

15．某儀器用電場(chǎng)和磁場(chǎng)來(lái)控制電子在材料表面上方的運(yùn)動(dòng)，如圖所示，材料表面上方PP′N′N區(qū)域存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，PP′與N′N的距離為s；矩形NN′M′M區(qū)域充滿垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，NN′為磁場(chǎng)與電場(chǎng)的分界線，NN′長(zhǎng)為3s，MN長(zhǎng)為s．一個(gè)電荷量為e、質(zhì)量為m、初速為零的電子，從P點(diǎn)開(kāi)始被電場(chǎng)加速后垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，最后電子從磁場(chǎng)邊界M′N′飛出．不計(jì)電子重力．請(qǐng)回答：
（1）若電場(chǎng)強(qiáng)度E=$\frac{2e{B}^{2}s}{9m}$，求電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑和電子從P入射到從M′N′離開(kāi)磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間；
（2）要使電子最后僅能從磁場(chǎng)邊界M′N′飛出，求電場(chǎng)強(qiáng)度的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理求出粒子是速度，然后結(jié)合牛頓第二定律求出軌道的半徑；最終電子從磁場(chǎng)邊界M′N′飛出，判斷出能完成幾個(gè)的半圓，最終時(shí)間是運(yùn)動(dòng)這幾個(gè)半圓的時(shí)間再加上運(yùn)動(dòng)$\frac{1}{6}$圓周的時(shí)間；
（2）電子不能從MM′邊射出，從而確定了最大半徑不能超過(guò)S，電子僅能從磁場(chǎng)邊界M'N'飛出，電子所做的軌跡半徑之和不小于3S，從這兩個(gè)方面即可求出電場(chǎng)強(qiáng)度的范圍．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)加速：$Ees=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
將電場(chǎng)強(qiáng)度代入得：$v=\frac{2eBs}{3m}$
磁場(chǎng)圓周運(yùn)動(dòng)：$evB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得半徑：R=$\frac{2s}{3}$ 
$\frac{NN′}{R}=\frac{3s}{\frac{2s}{3}}=\frac{9}{2}=2×2+\frac{1}{2}$
即NN′=4R+$\frac{1}{2}$R
所以粒子在經(jīng)過(guò)2個(gè)半圓后，需要再偏轉(zhuǎn)：$cosθ=\frac{R-\frac{1}{2}R}{R}=\frac{1}{2}$，即：θ=60°
粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖：

電場(chǎng)加速一次：$s=\frac{1}{2}v{t}_{1}$
所以：${t}_{1}=\frac{3m}{eB}$
磁場(chǎng)中周期：T=$\frac{2πm}{eB}$
最后的一段圓弧對(duì)應(yīng)的時(shí)間：$t′=\frac{60°}{360′}•T=\frac{1}{6}T$
總時(shí)間$t=5{t}_{1}+T+\frac{1}{6}T=\frac{m}{eB}（15+\frac{7}{3}π）$ 
（2）在磁場(chǎng)邊界M′′飛出的最大半徑R=S
磁場(chǎng)圓周運(yùn)動(dòng)$evB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
電場(chǎng)加速$Ees=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
$E=\frac{e{B}^{2}s}{2m}$
要使電子最后僅能從磁場(chǎng)邊界M′N′飛出電場(chǎng)強(qiáng)度的取值范圍
$E≤\frac{e{B}^{2}s}{2m}$
答：（1）若電場(chǎng)強(qiáng)度E=$\frac{2e{B}^{2}s}{9m}$，電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑和電子從P入射到從M′N′離開(kāi)磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間是$\frac{m}{eB}（15+\frac{7}{3}π）$；
（2）要使電子最后僅能從磁場(chǎng)邊界M′N′飛出，電場(chǎng)強(qiáng)度的取值范圍是$E≤\frac{e{B}^{2}s}{2m}$．

點(diǎn)評(píng) 該題中帶電粒子的電場(chǎng)中加速和減速是對(duì)稱的，而在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)可能是半個(gè)圓周，有可能報(bào)上半個(gè)圓周，要對(duì)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)仔細(xì)分析，盡量避免不必要的錯(cuò)誤．