Question

15．某儀器用電場和磁場來控制電子在材料表面上方的運動，如圖所示，材料表面上方PP′N′N區(qū)域存在豎直向下的勻強電場，PP′與N′N的距離為s；矩形NN′M′M區(qū)域充滿垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，NN′為磁場與電場的分界線，NN′長為3s，MN長為s．一個電荷量為e、質(zhì)量為m、初速為零的電子，從P點開始被電場加速后垂直進入磁場，最后電子從磁場邊界M′N′飛出．不計電子重力．請回答：
（1）若電場強度E=$\frac{2e{B}^{2}s}{9m}$，求電子在磁場中的運動半徑和電子從P入射到從M′N′離開磁場經(jīng)歷的時間；
（2）要使電子最后僅能從磁場邊界M′N′飛出，求電場強度的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由動能定理求出粒子是速度，然后結(jié)合牛頓第二定律求出軌道的半徑；最終電子從磁場邊界M′N′飛出，判斷出能完成幾個的半圓，最終時間是運動這幾個半圓的時間再加上運動$\frac{1}{6}$圓周的時間；
（2）電子不能從MM′邊射出，從而確定了最大半徑不能超過S，電子僅能從磁場邊界M'N'飛出，電子所做的軌跡半徑之和不小于3S，從這兩個方面即可求出電場強度的范圍．

解答 解：（1）粒子在電場加速：$Ees=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
將電場強度代入得：$v=\frac{2eBs}{3m}$
磁場圓周運動：$evB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得半徑：R=$\frac{2s}{3}$ 
$\frac{NN′}{R}=\frac{3s}{\frac{2s}{3}}=\frac{9}{2}=2×2+\frac{1}{2}$
即NN′=4R+$\frac{1}{2}$R
所以粒子在經(jīng)過2個半圓后，需要再偏轉(zhuǎn)：$cosθ=\frac{R-\frac{1}{2}R}{R}=\frac{1}{2}$，即：θ=60°
粒子運動的軌跡如圖：

電場加速一次：$s=\frac{1}{2}v{t}_{1}$
所以：${t}_{1}=\frac{3m}{eB}$
磁場中周期：T=$\frac{2πm}{eB}$
最后的一段圓弧對應的時間：$t′=\frac{60°}{360′}•T=\frac{1}{6}T$
總時間$t=5{t}_{1}+T+\frac{1}{6}T=\frac{m}{eB}（15+\frac{7}{3}π）$ 
（2）在磁場邊界M′′飛出的最大半徑R=S
磁場圓周運動$evB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
電場加速$Ees=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
$E=\frac{e{B}^{2}s}{2m}$
要使電子最后僅能從磁場邊界M′N′飛出電場強度的取值范圍
$E≤\frac{e{B}^{2}s}{2m}$
答：（1）若電場強度E=$\frac{2e{B}^{2}s}{9m}$，電子在磁場中的運動半徑和電子從P入射到從M′N′離開磁場經(jīng)歷的時間是$\frac{m}{eB}（15+\frac{7}{3}π）$；
（2）要使電子最后僅能從磁場邊界M′N′飛出，電場強度的取值范圍是$E≤\frac{e{B}^{2}s}{2m}$．

點評 該題中帶電粒子的電場中加速和減速是對稱的，而在磁場中的運動可能是半個圓周，有可能報上半個圓周，要對粒子在磁場中的運動仔細分析，盡量避免不必要的錯誤．