Question

7．如圖所示，一質(zhì)量m=1kg的小物塊（可視為質(zhì)點）從A點以大小v₀=4m/s的初速度沿切線進(jìn)入光滑圓弧軌道AB，經(jīng)圓弧軌道后滑上與B點等高、靜止在粗糙水平面的長木板上，圓弧軌道B端切線水平．已知長木板的質(zhì)量M=1kg，A、B兩點的豎直高度為h=1.0m，AO與BO之間夾角θ=37°，小物塊與長木板之間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.5，長木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．求：
（1）小物塊運動至B點時的速度v₁大��；
（2）小物塊滑動至B點時，對圓弧軌道B點的壓力；
（3）長木板至少為多長，才能保證小物塊不滑出長木板？
（4）小物塊從滑上長木塊起到停止運動所經(jīng)歷的時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理計算B點速度；
（2）在B點，軌道支持力和重力的合力提供圓周運動的向心力，據(jù)此求解即可；
（3）根據(jù)物塊在長木板上滑動時，物塊的位移-長木板的位移應(yīng)該小于等于長木板的長度這一臨界條件展開討論即可；
（4）根據(jù)勻變速直線運動規(guī)律求解時間．

解答 解：（1）小物塊到達(dá)B點時速度為v₁從A至B點，由
動能定理得mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-$$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
設(shè)C點受到的支持力為F_N，則有
F_N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
由幾何關(guān)系得cosθ=$\frac{R-h}{R}$
由上式可得R=5m，v₁=6m/s，F(xiàn)_N=17.2 N
根據(jù)牛頓第三定律可知，小物塊對圓弧軌道C點的壓力大小為17.2 N     
（3）由題意可知小物塊對長木板的摩擦力F_f1=μ₁mg=5 N
長木板與地面間的最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力
F_f2=μ₂（M+m）g=4 N
對小物塊：加速度a_物塊=$\frac{{F}_{f1}}{m}$=5m/s²，速度v_物塊=v₁-a_物塊t₁，
對長木板：加速度a_木板=$\frac{{F}_{f1}-{F}_{f2}}{M}$=1m/s²，速度v_木板=a_木板t₁，
當(dāng)v_物塊=v_木板時，t₁=1s，v_物塊=v_木板=1m/s．
在這1s內(nèi)，小物塊相對于長木板的位移為：s=$\frac{{{v}_{1}}^{2}-{{v}_{物塊}}^{2}}{2{a}_{物塊}}$-$\frac{{{v}_{木板}}^{2}}{2{a}_{木板}}$=3m，
所以長木板至少為3m，才能保證小物塊不滑出長木板．
（4）小物塊滑上長木板1s后與長木板一起運動，此時共同速度為v_共=v_物塊=v_木板=1m/s．
此后它們做勻減速運動，加速度a_共=$\frac{{F}_{f2}}{m+M}$=2m/s²，
由v_共-a_共t′=0可求得小物塊與長木板共同運動后經(jīng)t′=0.5s停止，
所以小物塊從滑上長木塊起到停止運動所經(jīng)歷的時間為t=t₁+t′=1.5s．
答：（1）小物塊運動至B點時的速度v₁大小為6m/s
（2）小物塊滑動至B點時，對圓弧軌道B點的壓力為17.2N；
（3）木板至少為3m才能保證小物塊不滑出長木板；
（4）小物塊從滑上長木塊起到停止運動所經(jīng)歷的時間為1.5s．

點評 本題是多過程運動的題目，要對每個物體分別分析其運動情況，利用運動學(xué)的基本公式，再根據(jù)速度和位移的關(guān)系及牛頓第二定律求解．本題運動過程較為復(fù)雜，難度較大．