Question

16．如圖，皮帶傳動裝置與水平面的夾角為30°，輪半徑R=$\frac{1}{2π}$m，兩輪軸心相距L=3.75m，A、B分別是傳送帶與兩輪的切點，輪緣與傳送帶之間不打滑，一個質(zhì)量為0.1kg的小物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．物塊相對于傳送帶運動時，會在傳送帶上留下痕跡，當傳送帶沿逆時針方向勻速運動時，小物塊無初速地放在A點，運動至B點飛出．要想使小物塊在傳送帶上留下的痕跡最長，傳送帶勻速運動的速度v至少多大？

Answer 1

分析 小物塊相對于傳送帶運動時，在傳送帶上留下痕跡等于兩者相對路程的大小，分析傳送帶速度與留下痕跡長度的關(guān)系確定什么條件下痕跡最長，再由運動學(xué)公式求出傳送帶勻速運動的最小速度．

解答 解：（1）小物塊在傳送帶上，初始階段速度小于傳送帶向下的速度，相對傳送帶向上運動，摩擦力向下，根據(jù)牛頓第二定律
mggsin30°+μmgcos30°=ma
得小物塊的加速度$a=gsin30°+μgcos30°=7.5m/{s}_{\;}^{2}$
傳送帶勻速運動的速度越大，小物塊從A點到B點用時越短，當傳送帶速度等于某一值v′時，小物塊將從A點一直以加速度a做勻加速直線運動到B點，所用時間最短，設(shè)用時${t}_{0}^{\;}$，即L=$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
解得${t}_{0}^{\;}=1s$
傳送帶的速度要大于$a{t}_{0}^{\;}=7.5m/s$
傳送帶的速度繼續(xù)增大，小物塊從A到B的時間保持${t}_{0}^{\;}$不變，而小物塊和傳送帶之間的相對路程繼續(xù)增大，小物塊在傳送帶上留下的痕跡也繼續(xù)增大；當痕跡長度等于傳送帶周長時，痕跡為最長${S}_{max}^{\;}$
設(shè)此時傳送帶的速度為${v}_{min}^{\;}$，則
${S}_{max}^{\;}=2L+2πR$
${S}_{max}^{\;}={v}_{min}^{\;}{t}_{0}^{\;}-L$
聯(lián)立得${v}_{min}^{\;}=12.25m/s$
所以痕跡最長時傳送帶速度最小${v}_{min}^{\;}=12.25m/s$
答：傳送帶的速度至少為12.25m/s

點評 本題的關(guān)鍵之處在于分析五塊的運動情況，也可以通過作速度圖象分析．