Question

14．如圖所示，小球a、b用長(zhǎng)度均為L(zhǎng)的細(xì)線懸掛于同一固定點(diǎn)O．讓球a靜止下垂，將球b向右拉起，使細(xì)線水平伸直，由靜止釋放球b，兩球碰后粘在一起向左擺動(dòng)，此后細(xì)線與豎直方向之間的最大偏角θ=60°．忽略空氣阻力，重力加速度大小為g．
（1）求兩球碰撞前瞬間，小球b的速度大小；
（2）求兩球的質(zhì)量之比；
（3）若以小球運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)所在的水平面為零勢(shì)能面，求a、b兩球組成的系統(tǒng)在碰撞前后的機(jī)械能之比．

Answer 1

分析 （1）b球下擺過(guò)程中，只有重力做功，由機(jī)械能守恒定律求出碰前b球的速度；
（2）兩球碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律列方程．碰后兩球向左擺動(dòng)過(guò)程中，整體的機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律列式，聯(lián)立可求得兩球的質(zhì)量之比；
（3）對(duì)于兩球碰撞前后，由機(jī)械能守恒定律得出它們的機(jī)械能，再求系統(tǒng)在碰撞前后的機(jī)械能之比．

解答 解：（1）設(shè)球a的質(zhì)量為m₁，球b的質(zhì)量為m₂．當(dāng)球b擺到最低點(diǎn)，但未與球a相碰時(shí)的速度大小為v．由動(dòng)能定理得
  m₂gL=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}^{2}$
解得 v=$\sqrt{2gL}$
（2）設(shè)碰后瞬間兩球的共同速度為v′．在兩球從碰撞后到向左擺到最高位置的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得
-（m₁+m₂）gL（1-cos60°）=0-$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）v{′}^{2}$
解得 v′=$\sqrt{gL}$
對(duì)于碰撞過(guò)程，以水平向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得
   m₂v=（m₁+m₂）v′
解得 $\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\sqrt{2}$-1
（3）a、b兩球組成的系統(tǒng)在碰撞前的機(jī)械能為 E₁=m₂gL
a、b兩球組成的系統(tǒng)在碰撞后的機(jī)械能為 E₂=m₂gL（1-cos60°）
結(jié)合 $\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\sqrt{2}$-1
解得 $\frac{{E}_{1}}{{E}_{2}}$=$\sqrt{2}$
答：
（1）兩球碰撞前瞬間，小球b的速度大小是$\sqrt{2gL}$；
（2）兩球的質(zhì)量之比為$\sqrt{2}$-1；
（3）a、b兩球組成的系統(tǒng)在碰撞前后的機(jī)械能之比為$\sqrt{2}$：1．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是要明確小球在下擺或上擺過(guò)程中機(jī)械能守恒，碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，由動(dòng)能定理（或機(jī)械能守恒定律）、動(dòng)量守恒定律即可正確解題．