Question

11．如圖所示，傾斜放置的傳送帶與水平面的夾角θ=37°，在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下保持v=2m/s的速率順時(shí)針勻速運(yùn)行．底端和上端分別有離傳送帶很近的擋板P、Q，它們不影響傳送帶的運(yùn)行，但可將傳送帶上的物塊擋住，P、Q之間距離L=15m．將物塊從O點(diǎn)靜止釋放，運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后與擋板碰撞，O點(diǎn)距P的距離L_OP=4m．已知物塊與擋板碰撞時(shí)間極短，碰撞前、后速度大小不變，物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，物塊的質(zhì)量為m=10kg，物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，假設(shè)最大靜摩擦力是滑動(dòng)摩擦力的1.7倍．sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．傳送帶與輪子間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)輪軸處的摩擦．求：
（1）物塊與擋板P第一次碰撞時(shí)的速度大�。�
（2）物塊最終在兩板間做周期性運(yùn)動(dòng)，那么，在一個(gè)周期內(nèi)，電動(dòng)機(jī)對(duì)傳送帶做的功是多少？

Answer 1

分析 （1）通過(guò)分析物塊的受力情況，可判斷出來(lái)物塊放在傳送帶上O點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理求物塊與擋板P第一次碰撞時(shí)的速度大小．
（2）物塊與擋板碰撞原速率反彈，根據(jù)物塊的受力情況，分析其運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)功能關(guān)系求出電動(dòng)機(jī)對(duì)傳送帶做的功．

解答 解：（1）物塊放在O點(diǎn)時(shí)，由于 mgsin37°＞μmgcos37°，所以物塊向下運(yùn)動(dòng)．
設(shè)物塊與擋板P第一次碰撞時(shí)的速度大小為v₁．
根據(jù)動(dòng)能定理得：（mgsin37°-μmgcos37°）L_OP=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
可得：v₁=2m/s
（2）物塊與擋板P碰撞原速率反彈，由于v₁=v，且mgsin37°＜f_max=1.7μmgcos37°，所以物塊隨傳送帶一起向上勻速運(yùn)動(dòng)
物塊與擋板Q碰撞后以速率v₁=2m/s向下運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a，物體從Q運(yùn)動(dòng)到P的時(shí)間為t．
根據(jù)牛頓第二定律得：mgsin37°-μmgcos37°=ma
得：a=2m/s²；
由L=v₁t+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：t=3s
在此過(guò)程中，傳送帶的位移為：x=vt=6m
電動(dòng)機(jī)對(duì)傳送帶做的功為：W₁=μmgcos37°x=240J
物塊滑到P處時(shí)速度為：v₂=v₁+at=8m/s
物塊第二次與P碰撞后，向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度減至與傳送帶相同時(shí)通過(guò)的位移為 x′，則有：
x′=$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}^{2}}{2a}$=15m=L，即恰好到Q處時(shí)速度與傳送帶相同．
設(shè)物塊第二次與P碰撞后到運(yùn)動(dòng)到Q處的時(shí)間為 t′，則 t′=$\frac{L}{\frac{{v}_{2}+v}{2}}$=3s
此過(guò)程中，電動(dòng)機(jī)對(duì)傳送帶做的功 W₂=μmgcos37°vt′=240J
此后重復(fù)，所以在一個(gè)周期內(nèi)，電動(dòng)機(jī)對(duì)傳送帶做的功是 W=W₁+W₂=480J
答：（1）物塊與擋板P第一次碰撞時(shí)的速度大小是2m/s．
（2）物塊最終在兩板間做周期性運(yùn)動(dòng)，在一個(gè)周期內(nèi)，電動(dòng)機(jī)對(duì)傳送帶做的功是480J．

點(diǎn)評(píng) 本題是一個(gè)多過(guò)程問(wèn)題，比較復(fù)雜，關(guān)鍵理清物塊在傳送帶上整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，搞清摩擦力的方向，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．