Question

如圖所示，在傾角為θ的光滑斜面上端系有一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，彈簧下端連一個(gè)質(zhì)量為m的小球，球被一垂直于斜面的擋板A擋住，此時(shí)彈簧沒(méi)有形變．若擋板A以加速度a（a＜gsinθ）沿斜面向下勻加速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：
（1）小球向下運(yùn)動(dòng)多少距離時(shí)速度最大？
（2）從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時(shí)間為多少？

Answer 1

分析：（1）對(duì)球受力分析可知，當(dāng)球受力平衡時(shí)，速度最大，此時(shí)彈簧的彈力與物體重力沿斜面的分力相等；
（2）從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到小球與擋板分離的過(guò)程中，擋板A始終以加速度a勻加速運(yùn)動(dòng)，由擋板運(yùn)動(dòng)的位移可以求得物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：（1）球和擋板分離后做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度為零時(shí)，速度最大，此時(shí)物體所受合力為零．
即 kx_m=mgsinθ，
解得 x_m=

mgsinθ

k

．
所以速度最大時(shí)運(yùn)動(dòng)的距離為

mgsinθ

k

．
（2）設(shè)球與擋板分離時(shí)位移為s，經(jīng)歷的時(shí)間為t，
從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到分離的過(guò)程中，m受豎直向下的重力，垂直斜面向上的支持力F_N，沿斜面向上的擋板支持力F₁和彈簧彈力F．
根據(jù)牛頓第二定律有 mgsinθ-F-F₁=ma，
                F=kx．
隨著x的增大，F(xiàn)增大，F(xiàn)₁減小，保持a不變，
當(dāng)m與擋板分離時(shí)，x增大到等于s，F(xiàn)₁減小到零，則有：
mgsinθ-ks=ma，
又s=

1

2

at²
聯(lián)立解得 mgsinθ-k?

1

2

at²=ma，
所以經(jīng)歷的時(shí)間為 t=

2m(gsinθ-a) ka

．

點(diǎn)評(píng)：在擋板運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，擋板對(duì)球的支持力的大小是在不斷減小的，從而可以使球和擋板一起以恒定的加速度運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中物體的受力在變化，但是物體的加速度不變，從而可以求得物體運(yùn)動(dòng)的位移和運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．