Question

（2011?株洲二模）如圖，豎直平面內(nèi)有一直角坐標(biāo)系xOy，在x≥0的區(qū)域內(nèi)有一傾角為45°的絕緣光滑斜面，斜面末端O處用一極小的平滑曲面連接，恰能使斜面末端水平．在x≤0的廣泛區(qū)域內(nèi)存在正交的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁場(chǎng)垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B；電場(chǎng)沿豎直方向，場(chǎng)強(qiáng)大小為E．電荷量為-q的帶電小球從絕緣光滑斜面上某點(diǎn)由靜止開始下滑，小球經(jīng)斜面末端O點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)和磁場(chǎng)，之后沿圓周運(yùn)動(dòng)，垂直于y軸離開電場(chǎng)和磁場(chǎng)，最后垂直打到斜面上．
求：
（1）小球從開始運(yùn)動(dòng)到垂直打到斜面上所用時(shí)間．
（2）小球開始下滑的初始位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）畫出小球運(yùn)動(dòng)的軌跡，小球經(jīng)過三個(gè)運(yùn)動(dòng)過程：1、由靜止開始勻加速運(yùn)動(dòng)到斜面末端，由速度公式v₀=gsin45°t₁求出時(shí)間的表達(dá)式；2、在左側(cè)復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為r=

mv0

qB

，時(shí)間t₂=

1

2

T=

πm

qB

；3、y軸離開電場(chǎng)和磁場(chǎng)后做平拋運(yùn)動(dòng)，垂直落到斜面時(shí)，v₀=v_ytan45°=gt₃，豎直方向位移為  2r-y₂=

1

2

g

t

2 3

，y₂=x₂=v₀t₃，聯(lián)立解得各段時(shí)間，即可求出總時(shí)間．
（2）小球初始位置到斜面末端的距離為 l=

1

2

gsin45°

t

2 1

，由上求得t₁，即可求出位置的坐標(biāo)．

解答：解：（1）小球運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖．初始位置（x₁，y₁），再次回到斜面的落點(diǎn)位置（x₂，y₂），小球經(jīng)時(shí)間t₁運(yùn)動(dòng)到末端的速度為v₀，則
  t₁=

v0

gsin45°

  ①
小球在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有  mg=qE   ②
軌道半徑為  r=

mv0

qB

  ③
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t₂=

1

2

T=

πm

qB

 ④
小球離開電磁場(chǎng)后做平拋運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t₃垂直落到斜面時(shí)
    v₀=v_ytan45°=gt₃   ⑤
2r-y₂=

1

2

g

t

2 3

   ⑥
y₂=x₂=v₀t₃，⑦
由②③⑤⑥⑦得，t3=

4E

3gB

 ⑧v0=

4E

3B

  ⑨
由②④得，t₂=

πE

gB

  ⑩
由①⑨得，t1=

4 2 E

3gB

故小球從開始運(yùn)動(dòng)到垂直打到斜面上所用時(shí)間為t=t₁+t₂+t₃=（

4( 2 +1)

3

+π）

E

gB

．
（2）小球初始位置到斜面末端的距離為 l=

1

2

gsin45°

t

2 1

=

8 2 E2

9gB2

故  x₁=y₁=lsin45°=

8E2

9gB2

答：
（1）小球從開始運(yùn)動(dòng)到垂直打到斜面上所用時(shí)間為（

4( 2 +1)

3

+π）

E

gB

．．
（2）小球開始下滑的初始位置坐標(biāo)（

8E2

9gB2

，

8E2

9gB2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題的運(yùn)動(dòng)過程比較復(fù)雜，既要單獨(dú)分析各段過程的運(yùn)動(dòng)情況，又抓住各過程之間的聯(lián)系，這是解題的關(guān)鍵所在．