Question

19．如圖所示，粒子源S可以不斷地產(chǎn)生質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子（重力不計(jì)）．粒子從O₁孔漂進(jìn)（初速不計(jì)）一個(gè)水平向右的加速電場(chǎng)，再經(jīng)小孔O₂進(jìn)入相互正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁，方向如圖．虛線PQ、MN之間立體空間存在著水平向右的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂（磁場(chǎng)范圍足夠大，圖中未畫(huà)出）．有一塊折成直角的硬質(zhì)塑料板abc（不帶電，寬度很窄，厚度不計(jì)）放置在PQ、MN之間（截面圖如圖所示），a、c兩點(diǎn)恰分別位于PQ、MN上，ab=bc=$\sqrt{2}$L，α=45°．現(xiàn)使粒子能沿圖中虛線O₂O₃進(jìn)入PQ、MN之間的區(qū)域．
（1）求加速電壓U₁；
（2）假設(shè)粒子與硬質(zhì)塑料板相碰后，速度大小不變，方向變化遵守光的反射定律，不計(jì)與板碰撞的時(shí)間．求粒子在PQ、MN之間的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子源發(fā)出的粒子，進(jìn)入加速電場(chǎng)被加速，由動(dòng)能定理可以求出速度．
粒子經(jīng)過(guò)復(fù)合場(chǎng)時(shí)，電場(chǎng)力向下，洛倫茲力向上，都與速度垂直，故合力為零，根據(jù)平衡條件列式求解加速電壓U₁；
（2）粒子進(jìn)入PQ、MN之間的區(qū)域，由于速度方向與磁場(chǎng)方向平行，不受洛倫茲力而做勻速直線運(yùn)動(dòng)．粒子與ab板第一次碰撞后，速度向上，洛倫茲力提供向心力，在與ac邊垂直的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一圈后，與ab邊內(nèi)側(cè)碰撞，碰撞后水平向右運(yùn)動(dòng)，與bc邊二次碰撞后，在與ac邊垂直的平面內(nèi)做再次勻速圓周運(yùn)動(dòng)，又經(jīng)過(guò)一圈后，與b邊外側(cè)碰撞，水平向右離開(kāi)磁場(chǎng)．根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡，分勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)求時(shí)間和路程．對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，先計(jì)算半徑和周期，再根據(jù)軌跡計(jì)算總時(shí)間．

解答 解：（1）粒子源發(fā)出的粒子，進(jìn)入加速電場(chǎng)被加速，速度為v₀，根據(jù)動(dòng)能定理得：
qU₁=$\frac{1}{2}$mv₀²，
要使粒子能沿圖中虛線O₂O₃進(jìn)入PQ、MN之間的區(qū)域，則粒子所受到向上的洛倫茲力與向下的電場(chǎng)力大小相等，即：
qE=qv₀B₁，
解得：v₀=$\frac{E}{{B}_{1}}$，U₁=$\frac{m{E}^{2}}{2q{B}_{1}^{2}}$；
（2）粒子從O₃以速度v₀進(jìn)入PQ、MN之間的區(qū)域，
先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，打到ab板上，以大小為v₀的速度垂直于磁場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)．
粒子將以半徑R在垂直于磁場(chǎng)的平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
轉(zhuǎn)動(dòng)一周后打到ab板的下表面．由于不計(jì)板的厚度，
所以質(zhì)子從第一次打到ab板到第二次打到ab板后運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間，
即一個(gè)周期T，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$，
粒子在磁場(chǎng)中共碰到2塊板，做圓周運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間為：t₁=2T，
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中，在v₀方向的總位移：s=2$\sqrt{2}$Lsin45°，時(shí)間為：t₂=$\frac{s}{{v}_{0}}$，
則t=t₁+t₂=$\frac{4πm}{q{B}_{2}}$+$\frac{2{B}_{1}L}{E}$；
答：（1）加速電壓U₁為$\frac{m{E}^{2}}{2q{B}_{1}^{2}}$；
（2）粒子在PQ、MN之間的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是$\frac{4πm}{q{B}_{2}}$+$\frac{2{B}_{1}L}{E}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電磁場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的前提，應(yīng)用動(dòng)能定理、粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式可以解題，本題的復(fù)合場(chǎng)具有速度選擇的功能，進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后，根據(jù)動(dòng)力學(xué)規(guī)律先確定運(yùn)動(dòng)軌跡，再進(jìn)行計(jì)算．