Question

7．如圖所示，空間存在著沿z方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，M是-垂直于y軸的熒光屏，0點(diǎn)到屏M的距離為L(zhǎng)，在從O點(diǎn)沿Oy方向發(fā)射出一束速度、荷質(zhì)比相同的帶正電粒子打到屏上的P點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{{\sqrt{3}}}{3}L$，L，$\frac{L}{6}$）．求
（1）粒子的荷質(zhì)比為多大？
（2）粒子打到P點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能（不計(jì)重力和一切阻力）

Answer 1

分析 粒子做螺旋狀曲線運(yùn)動(dòng)，即在xoy平面的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和豎直向上的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，分別從兩個(gè)方向應(yīng)用相關(guān)規(guī)律列方程解出．
（1）先根據(jù)打在屏上的x、y坐標(biāo)求出勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和轉(zhuǎn)過的角度，轉(zhuǎn)過角度決定了粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而就可以求出粒子的比荷．
（2）在z軸方向上，粒子在電場(chǎng)作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，求出加速度從而也得到了

解答 解（1）粒子在磁場(chǎng)力作用下，在XOY面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系：
${R^2}={L^2}+{（{R-\frac{{\sqrt{3}}}{3}L}）^2}$   ①
所以半徑：R=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}L$     ②
又sinα=$\frac{L}{R}$   所以  α=60⁰．
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間 $t=\frac{{{{60}^0}}}{{{{360}^0}}}T=\frac{πm}{3qB}$．③
粒子在電場(chǎng)力作用下沿+Z．方向做勻加速運(yùn)動(dòng)$\frac{l}{6}=\frac{Eq}{2m}{t^2}$      ④
由③④得  $\frac{q}{m}=\frac{{{π^2}E}}{{3L{B^2}}}$     
（2）設(shè)粒子在XOY面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的速度 為v₁     則：$q{v_1}B=\frac{{m{v_1}^2}}{R}$         ⑤
由②③④⑤⑥得：v₁=$\frac{{2\sqrt{3}E{π^2}}}{9B}$     ⑥
粒子在電場(chǎng)力作用下沿+Z．方向做勻加速運(yùn)動(dòng)到P的速度v₂=$at=\frac{Eq}{m}t$      ⑦
由③⑤⑦得v₂=$\frac{πE}{3B}$ 
粒子到P的速度v：$v=\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2}={\sqrt{{{（{\frac{{2\sqrt{3}E{π^2}}}{9B}}）}^2}+{{（{\frac{πE}{3B}}）}^2}_{\;}}^{\;}}$．
動(dòng)能：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m（\frac{2\sqrt{3}E{π}^{2}}{9B}）^{2}+\frac{1}{2}m（\frac{πE}{3B}）^{2}$
答：（1）粒子的荷質(zhì)比為$\frac{{π}^{2}E}{3L{B}^{2}}$．
（2）粒子打到P點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能$\frac{1}{2}m（\frac{2\sqrt{3}E{π}^{2}}{9B}）^{2}+\frac{1}{2}m（\frac{πE}{3B}）^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及的題型很新穎：一是在三維坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)合成問題，二是物體做螺旋運(yùn)動(dòng)．已知坐標(biāo)，由幾何關(guān)系求出勻速圓周運(yùn)動(dòng)分運(yùn)動(dòng)的半徑和時(shí)間，從而求出荷比．至于第二問，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出合速度，從而求出粒子的動(dòng)能．