Question

4．天體中兩顆恒星的質量相差不大，相距較近時，它們繞一中心分別做勻速圓周運動，這叫雙星．已知雙星的質量分別為m₁和m₂，相距為r，它們分別繞連線上的一點做勻速圓周運動，求它們的角速度的大小．

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比，進一步計算軌道半徑大小，再求解角速度的大小．

解答 解：設m₁、m₂的軌道半徑分別為r₁、r₂，角速度為ω，
根據(jù)牛頓第二定律得：
對m₁有：G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$=m₁ω²r₁                      
對m₂有：G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$=m₂ω²（r-r₁）                               
由以上二式有：r₁=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$r，
將r₁=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$r代入：G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$=m₁ω²r₁，
解得：ω=$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{r}^{3}}}$；
答：它們的角速度的大小為$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{r}^{3}}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．