Question

16．如圖所示，豎直平面內(nèi)有一軌道ABC，其中AB部分光滑且水平，BC部分是半徑為R的半圓，直徑BC沿豎直方向．一個(gè)質(zhì)量為m的小球穿在AB桿上，緊靠著一個(gè)被壓縮的彈簧從A點(diǎn)由靜止釋放．在彈力作用下小球獲得某一向右速度，脫離彈簧后經(jīng)過B點(diǎn)，之后沿半圓軌道BC運(yùn)動(dòng)．到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，小球?qū)�軌道恰無作用力，已知彈簧開始時(shí)的彈性勢(shì)能為3mgR，求：
（1）小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度的大�。�
（2）小球運(yùn)動(dòng)到圓軌道的B點(diǎn)時(shí)受到軌道作用力的大小．
（3）小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)克服阻力做的功．

Answer 1

分析 （1）小球到達(dá)C點(diǎn)，對(duì)軌道恰無作用力，說明重力提供向心力，由向心力公式求解；
（2）彈簧開始時(shí)的彈性勢(shì)能為3mgR，且AB部分光滑且水平，小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)彈性勢(shì)能完全轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能，由能量守恒可求小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度，再由向心力公式及牛頓第三定律求小球運(yùn)動(dòng)到圓軌道的B點(diǎn)時(shí)受到軌道作用力的大�。�
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)克服阻力做的功．

解答 解：（1）小球到達(dá)C點(diǎn)，對(duì)軌道恰無作用力，重力提供向心力，則有：
 $mg=\frac{{{mv}_{C}}^{2}}{R}$…（1）
 解之得，${v}_{C}=\sqrt{gR}$ 
（2）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)彈性勢(shì)能完全轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能，則有：
 $3mgR=\frac{1}{2}{{mv}_{B}}^{2}$…（2）
 小球運(yùn)動(dòng)到圓軌道的B點(diǎn)時(shí)，重力和支持力的合力提供向心力，則：
 ${F}_{N}-mg=\frac{{{mv}_{B}}^{2}}{R}$…（3）
 根據(jù)牛頓第三定律知軌道對(duì)小球的作用力：
 F_N′=F_N…（4）
 以上（2）（3）（4）式聯(lián)立解之得，
 F_N′=7mg…（5）
（3）根據(jù)動(dòng)能定理，小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)克服阻力做的功：
 $-w-mg•2R=\frac{1}{2}{{mv}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}{{mv}_{B}}^{2}$…（6）
 由（1）（2）（6）聯(lián)立解之得，
  $w=\frac{1}{2}mgR$
 答：
（1）小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度的大小$\sqrt{gR}$；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到圓軌道的B點(diǎn)時(shí)受到軌道作用力的大小7mg；
（3）小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)克服阻力做的功$\frac{1}{2}mgR$．

點(diǎn)評(píng) 本題解題的關(guān)鍵是分清小球的運(yùn)動(dòng)過程，抓住臨界點(diǎn)的條件，結(jié)合向心力公式，能的轉(zhuǎn)化與守恒及動(dòng)能定理等知識(shí)求解．