精英家教網(wǎng)一口圓柱形的井深1.85m,直徑2m,井底有一只青蛙.井外水平地面上以井為中心種了一圈樹,圈為圓形,直徑為18m,其中最高的樹高10m,最矮的樹高6m,問井中至少要有多深的水,位于井底部的青蛙才有可能看到其中的任意一棵樹.已知水的折射率為
43
.(已知sin37°=0.6,cos37°=0.8)
分析:由于樹越高,越容易看到,只考慮看到最矮的樹的情形.作出光路圖,運(yùn)用幾何知識,用樹高表示水的深度,再結(jié)合折射率求解即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:設(shè)樹高為H,水深為h,樹梢在水面上的入射點(diǎn)到井壁的距離為x,作出光路圖如圖所示.
根據(jù)△ABC∽△BOD得:
AC
BD
=
BC
OD
,即
H
1.85-h
=
8
x

得x=
8(1.85-h)
H

由于樹越高,越容易看到,只考慮看到最矮的樹為6m的情況.
當(dāng)H=6m時,x=
4(1.85-h)
3

由數(shù)學(xué)知識得:sin∠1=
OD
BO
=
x
x2+(1.85-h)2

sin∠2=
EF
EO
=
2-x
(2-x)2+h2

又由折射定律得:
sin∠1
sin∠2
=n=
4
3

聯(lián)立以上各式得:h1=0.8m,h2=0.224m
但考慮到樹高為6m時,若井中無水時,樹梢最多在距井口y深處看到,則
 
BC
H
=
2
y
,即
8
6
=
2
y

解得,y=1.5m,
因?yàn)榍嗤茉谒锌礃,所以水深最少?.85-1.5=0.35m,故排除h2=0.224m,只能取h1=0.8m.
所以井中至少要有0.8m深的水,位于井底部的青蛙才有可能看到其中的任意一棵樹.
答:井中至少要有0.8m深的水,位于井底部的青蛙才有可能看到其中的任意一棵樹.
點(diǎn)評:本題是折射定律和幾何知識的綜合應(yīng)用,作出光路圖,運(yùn)用幾何知識是解題的關(guān)鍵所在.
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