Question

1．如圖所示的軌道由一水平的長木板和兩個$\frac{1}{4}$圓弧軌道平滑連接而成，現(xiàn)將可視為質(zhì)點(diǎn)的彈性小球A由與圓心等高的位置無初速度釋放，能與靜止在水平段的可視為質(zhì)點(diǎn)的彈性小球B發(fā)生正碰，其后彈性小球B從O點(diǎn)處進(jìn)入第二個$\frac{1}{4}$圓弧軌道，且此時彈性小球B與軌道間的壓力剛好為零，一切摩擦均忽略不計，求彈性小球A、B的質(zhì)量之比m_A：m_B．

Answer 1

分析 A球下滑過程中，根據(jù)動能定理求出A與B碰撞前的速度，B球在O點(diǎn)時對軌道的壓力恰好為零，則有重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出碰撞后B的速度，AB球發(fā)生彈性正碰，碰撞過程中，系統(tǒng)動量守恒，機(jī)械能守恒，根據(jù)動量守恒定律及機(jī)械能守恒定律列式求解即可．

解答 解：設(shè)$\frac{1}{4}$圓弧軌道半徑為R，
A球下滑過程中，根據(jù)動能定理得：
${m}_{A}gR=\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{0}}^{2}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{2gR}$
B球在O點(diǎn)時對軌道的壓力恰好為零，則有重力提供向心力，則有：
${m}_{B}g={m}_{B}\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{B}=\sqrt{gR}$
AB球發(fā)生彈性正碰，碰撞過程中，系統(tǒng)動量守恒，機(jī)械能守恒，以向右為正，根據(jù)動量守恒定律及機(jī)械能守恒定律得：
m_Av₀=m_Av_A+m_Bv_B，
$\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}$，
聯(lián)立解得：$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$=$\frac{2\sqrt{2}+1}{7}$
答：彈性小球A、B的質(zhì)量之比$\frac{2\sqrt{2}+1}{7}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了動能定理、牛頓第二定律、動量守恒定律及機(jī)械能守恒定律的直接應(yīng)用，知識點(diǎn)較多，過程較為復(fù)雜，注意B球在O點(diǎn)時對軌道的壓力恰好為零，則有重力提供向心力，應(yīng)用動量守恒定律解題時要規(guī)定正方向，難度適中．