Question

5．一衛(wèi)星在某一行星表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，假設(shè)該行星是密度均勻的球體，要求出該行星的密度，只需要測量（　�。�

• A． 衛(wèi)星的軌道半徑
• B． 衛(wèi)星的運(yùn)行速度
• C． 衛(wèi)星的運(yùn)行周期
• D． 衛(wèi)星的質(zhì)量

Answer 1

分析 衛(wèi)星在行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這是一個(gè)近地衛(wèi)星，軌道半徑等于行星的半徑，根據(jù)萬有引力等于向心力表達(dá)出行星質(zhì)量，再根據(jù)$ρ=\frac{M}{V}$，化簡后進(jìn)行判斷

解答 解：因?yàn)樾l(wèi)星在行星表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑近似等于行星半徑，根據(jù)萬有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
解得：$M=\frac{{v}_{\;}^{2}R}{G}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
行星的體積$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3{v}_{\;}^{2}}{4πG{R}_{\;}^{2}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$
可知僅知衛(wèi)星的軌道半徑或衛(wèi)星的運(yùn)行速度，無法求行星的密度；衛(wèi)星的質(zhì)量被約掉，所以ABD均錯(cuò)誤；只有測出周期才能求出行星的密度，故C正確
故選：C

點(diǎn)評 本題可歸結(jié)為一個(gè)結(jié)論：環(huán)繞行星表面做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，其公轉(zhuǎn)周期平方與行星平均密度的乘積是一個(gè)定則，即$ρ=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$