Question

（18分）

如圖所示，傾斜軌道AB的傾角為37o，CD、EF軌道水平，AB與CD通過(guò)光滑圓弧管道BC連接，CD右端與豎直光滑圓周軌道相連。小球可以從D進(jìn)入該軌道，沿軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，從E滑出該軌道進(jìn)入EF水平軌道。小球由靜止從A點(diǎn)釋放，已知AB長(zhǎng)為5R，CD長(zhǎng)為R，重力加速度為g，小球與斜軌AB及水平軌道CD、EF的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.5，sin37o=0.6，cos37o=0.8，圓弧管道BC入口B與出口C的高度差為1.8R。求：

（1）小球滑到斜面底端C時(shí)速度的大小。

（2）小球?qū)�剛到C時(shí)對(duì)軌道的作用力。

（3）要使小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑R’應(yīng)該滿足什么條件？若R’=2.5R，小球最后所停位置距D（或E）多遠(yuǎn)？

注：在運(yùn)算中，根號(hào)中的數(shù)值無(wú)需算出。

 

Answer 1

（1） （2）6.6mg ，方向豎直向下 （3） 0.6R

【解析】

試題分析：

（1）設(shè)小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為v，a球從A運(yùn)動(dòng)至C過(guò)程，由動(dòng)能定理有

（2分）

可得 （1分）

（2）小球沿BC軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)在C點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)球的作用力為N，由牛頓第二定律

， （2分）

其中r滿足 r+r·sin530=1.8R （1分）

聯(lián)立上式可得：N=6.6mg （1分）

由牛頓第三定律可得，球?qū)�軌道的作用力�?.6mg ，方向豎直向下。 （1分）

（3）要使小球不脫離軌道，有兩種情況：

情況一：小球能滑過(guò)圓周軌道最高點(diǎn)，進(jìn)入EF軌道。則小球b在最高點(diǎn)P應(yīng)滿足

（1分）

小球從C直到P點(diǎn)過(guò)程，由動(dòng)能定理，有

（1分）

可得 （1分）

情況二：小球上滑至四分之一圓軌道的Q點(diǎn)時(shí)，速度減為零，然后滑回D。則由動(dòng)能定理有

（1分）

若，由上面分析可知，小球必定滑回D，設(shè)其能向左滑過(guò)DC軌道，并沿CB運(yùn)動(dòng)到達(dá)B點(diǎn)，在B點(diǎn)的速度為vB,，則由能量守恒定律有

（1分）

由⑤⑨式，可得 （1分）

故知，小球不能滑回傾斜軌道AB，小球?qū)⒃趦蓤A軌道之間做往返運(yùn)動(dòng)，小球?qū)⑼Ｔ贑D軌道上的某處。設(shè)小球在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的總路程為S，則由能量守恒定律，有

（1分）

由⑤⑩兩式，可得 S=5.6R （1分）

所以知，b球?qū)⑼Ｔ贒點(diǎn)左側(cè)，距D點(diǎn)0.6R處。 （1分）

考點(diǎn)：本題考查動(dòng)能定理、圓周運(yùn)動(dòng)。