Question

如圖是一個(gè)由abc半圓、cdO₁半圓、O₁eO₂f四分之三圓組成的光滑@型軌道，O₁、O₂、O₃分別是三個(gè)圓周的圓心，a與c是軌道最右與最左點(diǎn)，b與d是軌道最低與最高點(diǎn)，最小圓半徑為R．現(xiàn)將一個(gè)質(zhì)量為m的小球從距離a一定高度處自由釋放，小球正好從a點(diǎn)進(jìn)入軌道．問(wèn)：                                                                               

（1）要使小球恰好能夠完整通過(guò)此軌道，小球距離a點(diǎn)的釋放高度h=？計(jì)算出小球?qū)�軌道最大壓力F_m=？                                                                                             

（2）假如將O₁eO₂f四分之三圓換成規(guī)格一樣但粗糙的軌道，在（1）基礎(chǔ)上，小球恰好還能完整通過(guò)此軌道，求此過(guò)程摩擦力做功W_μ=？                                                                                                              

                                                                         

                                                                                                                                       

Answer 1

（1）小球恰好能夠完整通過(guò)此軌道，在最高點(diǎn)d重力提供向心力，

由牛頓第二定律得：mg=m，解得：v_d=，

小球恰好通過(guò)f點(diǎn)，由牛頓第二定律得：mg=m，

解得，小球通過(guò)f點(diǎn)的臨界速度：，

d點(diǎn)高比f(wàn)點(diǎn)高，所以只要通過(guò)d就可以完整通過(guò)軌道，

由機(jī)械能守恒定律得：mgh=mg•2R+，解得：h=3R，

超重階段壓力大，所以應(yīng)該在下半圓的e點(diǎn)或b點(diǎn)，

在e點(diǎn)時(shí)，由機(jī)械能守恒定律得：mg（h+R）=，

由牛頓第二定律得：F_e﹣mg=，解得：F_e=9mg，

在d點(diǎn)時(shí)，由機(jī)械能守恒定律得：mg（h+4R）=﹣0，

由牛頓第二定律得：F_b﹣mg=，解得：F_b=4.5mg，

可見(jiàn)e點(diǎn)支持力最大為9mg，由牛三定律可知，

小球?qū)�軌道最大壓力：F_m=F_e=9mg；

（2）根據(jù)臨界速度與  ，

由動(dòng)能定理得：mgR+W_μ=，

解得：W_μ=；

答：（1）小球距離a點(diǎn)的釋放高度h=3R，小球?qū)�軌道最大壓力F_m=9mg；

（2）此過(guò)程摩擦力做功W_μ=．