Question

如圖所示，ABCDO是處于豎直平面內的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的

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圓周軌道，CDO是直徑為15m的半圓軌道．AB軌道和CDO軌道通過極短的水平軌道（長度忽略不計）平滑連接．半徑OA處于水平位置，直徑OC處于豎直位置．一個質量為m=0.3kg的小球P從A點的正上方高H處自由落下，從A點進入豎直平面內的軌道運動（小球經(jīng)過A點時無機械能損失）．當小球通過CDO軌道最低點C時對軌道的壓力等于23N，取g為10m/s²．
（1）試求高度H的大�。�
（2）小球在最高點O受軌道的壓力F_N的大小
（3）小球離開O點后經(jīng)多長時間t再次落回軌道上？

Answer 1

分析：（1）設小球通過C點的速度為v，根據(jù)向心力公式列出方程，小球從P點落下直到沿光滑軌道運動的過程中，機械能守恒，可解得H的高度；
（2）根據(jù)機械能守恒定律求出小球到達O點時的速度大小，再根據(jù)牛頓第二定律求解小球在最高點O受軌道的壓力F_N的大��；
（3）先求出小球由H落下通過O點的速度，小球通過O點后作平拋運動，設小球經(jīng)時間t落到AB圓弧軌道上，根據(jù)幾何關系即可求解．

解答：解：（1）設小球通過C點的速度為v_C．
小球從P點運動到C點的過程中，機械能守恒，有
mg（H+R）=

1

2

m

v

2 C

在C點，有N_C-mg=m

v 2 C

0.5R

又N_C=23N
可得高度H=10m
（2）設小球沿豎直半圓軌道運動到O點的速度為v_O，由機械能定律得
  mgH=

1

2

m

v

2 O

解得v_O=

2gH

=

2×10×10

=10

2

m/s．
在O點，根據(jù)牛頓第二定律得：F_N+mg=m

v 2 O

0.5R

解得，F(xiàn)_N=5N
（3）小球通過O點后作平拋運動，設小球經(jīng)時間t落到AB圓弧軌道上，有
  x=v₀t
  y=

1

2

gt2
且x²+y²=R²
可解得時間t=1s
答：
（1）高度H的大小為10m；
（2）小球在最高點O受軌道的壓力F_N的大小為5N；
（3）小球沿軌道運動后經(jīng)1s再次落回軌道上．

點評：本題關鍵是要分析清楚物體各段的運動規(guī)律，同時多次結合機械能守恒定律和向心力公式列式求解．