Question

13．如圖所示，足夠長(zhǎng)的光滑金屬框豎直放置，框?qū)扡=0.5m，框的電阻不計(jì)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T，方向與框面垂直，金屬棒MN的質(zhì)量為100g，電阻為1Ω．現(xiàn)讓MN無初速地釋放并與框保持接觸良好的豎直下落，從釋放到達(dá)到最大速度的過程中通過棒某一橫截面的電量為1C，求此過程中回路產(chǎn)生的電能．（空氣阻力不計(jì)，g=10m/s²）

Answer 1

分析 金屬棒下落過程受到重力和安培力作用，安培力隨著速度的增大而增大，金屬棒做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，加速度減小到零時(shí)速度達(dá)到最大，根據(jù)平衡條件和安培力與速度的關(guān)系式，可求得最大速度．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式q=It，求出棒下落的高度，再根據(jù)能量守恒列式求解．

解答 解：金屬棒下落過程中所受安培力大小為  F=BIL  
其中通過金屬棒的電流強(qiáng)度為 I=$\frac{E}{R}$
金屬棒所受的安培力 F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
金屬棒下落過程做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，加速度減小到零時(shí)速度達(dá)到最大，根據(jù)平衡條件得：
 mg=F 
設(shè)金屬棒的最大速度為v_m，則得：
 mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$
解得：v_m=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{0.1×10×1}{{1}^{2}×0．{5}^{2}}$=4m/s
設(shè)此過程中棒下落的高度為h．通過導(dǎo)體某一橫截面的電量為：q=$\overline{I}$△t
又 $\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R}$，$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$
聯(lián)立得：q=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{BLh}{R}$
可得 h=$\frac{qR}{BL}$=$\frac{1×1}{1×0.5}$=2m
在下落過程中，金屬棒減小的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為它的動(dòng)能和電能E，由能量守恒定律得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$+E
代入數(shù)據(jù)解得：E=1.2J
答：此過程中回路產(chǎn)生的電能為1.2J．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是熟練推導(dǎo)安培力與速度的關(guān)系式、感應(yīng)電荷量與高度的關(guān)系式．對(duì)棒進(jìn)行受力分析、熟練應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、能量守恒定律等正確解題．