Question

17．在水平恒力作用下，若將一個(gè)質(zhì)量為m的小球由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)中小球的速度與豎直方向夾角為37°．現(xiàn)將該小球以初速度v₀豎直向上拋出，求運(yùn)動(dòng)過程中
（1）小球受到的水平恒力的大小；
（2）小球從拋出點(diǎn)至最高點(diǎn)的過程中水平恒力做的功；
（3）小球的最小動(dòng)能．

Answer 1

分析 （1）小球靜止釋放時(shí)，沿著合力的方向運(yùn)動(dòng)，由于所受的水平恒力與重力均為恒力，故其運(yùn)動(dòng)方向和合外力方向一致，根據(jù)平行四邊形定則可以求出水平恒力的大小；
（2）將該小球以初速度v₀豎直向上拋出后，水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性，可求出從拋出點(diǎn)至最高點(diǎn)的時(shí)間，再求出水平方向的位移，即可求得水平恒力做的功；
（3）小球的運(yùn)動(dòng)類似于斜上拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度與合力垂直時(shí)，動(dòng)能最小，先根據(jù)速度關(guān)系求出時(shí)間，再由速度公式求出分速度，最后求解最小的動(dòng)能．

解答 解：（1）根據(jù)題設(shè)條件可知，小球靜止釋放時(shí)，合外力和豎直方向夾角為37°，如圖．
所以水平恒力大小為：F=mgtan37°=0.75mg
（2）將該小球以初速度v₀豎直向上拋出后，水平方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)．
水平方向的分加速度為：a_x=$\frac{F}{m}$=0.75g
從拋出點(diǎn)至最高點(diǎn)的時(shí)間為：t=$\frac{{v}_{0}}{g}$
這段時(shí)間內(nèi)水平方向的分位移為：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{8g}$
水平恒力做的功為：W=Fx=$\frac{9}{32}m{v}_{0}^{2}$；
（3）小球的運(yùn)動(dòng)類似于斜上拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度與合力垂直時(shí)，動(dòng)能最小，如圖．此時(shí)速度水平方向的夾角為37°．
設(shè)從拋出到速度最小的時(shí)間為T．則有：
tan37°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{{v}_{0}-gT}{0.75gT}$
解得：T=$\frac{16{v}_{0}}{25g}$
則有：v_x=aT=$\frac{12}{25}{v}_{0}$
v_y=v₀-gT=$\frac{9}{25}{v}_{0}$
最小的速度為：v_min=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{3}{5}{v}_{0}$
最小的動(dòng)能為：E_kmin=$\frac{1}{2}$mv_min²=$\frac{9}{50}m{v}_{0}^{2}$
答：（1）小球受到的水平恒力的大小是0.75mg；
（2）小球從拋出點(diǎn)至最高點(diǎn)的過程中水平恒力做的功是$\frac{9}{32}m{v}_{0}^{2}$；
（3）小球的最小動(dòng)能是$\frac{9}{50}m{v}_{0}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中物體在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究物體運(yùn)動(dòng)，可與斜上拋運(yùn)動(dòng)類比來理解．解這類問題的關(guān)鍵是：正確進(jìn)行受力分析，弄清運(yùn)動(dòng)形式，利用相應(yīng)物理規(guī)律求解．對(duì)于最小動(dòng)能，也可以動(dòng)能與時(shí)間的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解．