Question

12．將一測(cè)力傳感器連接到計(jì)算機(jī)上就可以測(cè)量快速變化的力，圖甲表示小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）沿固定的光滑半球形容器內(nèi)壁在豎直平面的A、A′之間來(lái)回滑動(dòng)，A、A′點(diǎn)與O點(diǎn)連線與豎直方向之間夾角相等且都為θ，θ很小．圖乙表示滑塊對(duì)器壁的壓力F隨時(shí)間t變化的曲線，且圖中t=0為滑塊從A點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻，試根據(jù)力學(xué)規(guī)律和題中（包括圖中）所給的信息，求：（g取10m/s²）

（1）容器的半徑；
（2）滑塊的質(zhì)量；
（3）滑塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度．

Answer 1

分析 （1）θ很小，滑塊的運(yùn)動(dòng)與單擺的運(yùn)動(dòng)類(lèi)似，近似為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，由圖讀出周期，由單擺的周期公式求出容器的半徑．
（2）滑塊在最高點(diǎn)，對(duì)器壁的壓力最小，為F_min=mgcosθ，在最低點(diǎn)速度最大，沿半徑方向上的合力提供向心力，此時(shí)壓力最大，最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，機(jī)械能守恒，求出滑塊的質(zhì)量．
（3）滑塊運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B時(shí)速度達(dá)到最大，在B點(diǎn)，由滑塊運(yùn)用牛頓第二定律定律求最大速度．

解答 解：（1）由題圖乙得知：小滑塊做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期 T=4×$\frac{π}{20}$s=0.2π s
又 T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
解得 R=$\frac{{T}^{2}g}{4{π}^{2}}$=0.1m
（2）在最高點(diǎn)A，有 F_min=mgcosθ=0.495N
在最低點(diǎn)B，有 F_max-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
從A到B，滑塊機(jī)械能守恒，有 mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv²；
聯(lián)立解得 m=0.05 kg
（3）由題意知滑塊運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B時(shí)速度達(dá)到最大，有F_max-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由圖得 F_max=0.510N
解得最大速度  v=0.141 m/s．
答：（1）容器的半徑是0.1 m．
（2）滑塊的質(zhì)量是0.05 kg．  
（3）滑塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度是0.141 m/s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道滑塊所做的運(yùn)動(dòng)是單擺運(yùn)動(dòng)，俗稱槽擺，知道其等效擺長(zhǎng)等于軌道的半徑，以及知道在什么位置壓力最大，什么位置壓力最小，運(yùn)用機(jī)械能守恒進(jìn)行求解．