Question

中國(guó)首個(gè)月球探測(cè)計(jì)劃“嫦娥工程”預(yù)計(jì)在2017年送機(jī)器人上月球，實(shí)地采樣送回地球，為載人登月及月球基地選址做準(zhǔn)備．設(shè)想我國(guó)宇航員隨“嫦娥”號(hào)登月飛船繞月球飛行，飛船上備有以下實(shí)驗(yàn)儀器：A．計(jì)時(shí)表一只；B．彈簧秤一把；C．已知質(zhì)量為m的物體一個(gè)；D．天平一只（附砝碼一盒）．在飛船貼近月球表面時(shí)可近似看成繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，宇航員測(cè)量出飛船在靠近月球表面的圓形軌道繞行N圈所用的時(shí)間為t．飛船的登月艙在月球上著陸后，遙控機(jī)器人利用所攜帶的儀器又進(jìn)行了第二次測(cè)量，利用上述兩次測(cè)量所得的物理量可出推導(dǎo)出月球的半徑和質(zhì)量．（已知萬有引力常量為G）
（1）機(jī)器人進(jìn)行第二次測(cè)量的內(nèi)容是什么？
（2）試推導(dǎo)用上述測(cè)量的物理量表示的月球半徑和質(zhì)量的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）機(jī)器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時(shí)讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大�。�
（2）靜止時(shí)讀出彈簧秤的讀數(shù)F，求出月球表面重力加速度．不考慮月球的自轉(zhuǎn)影響，根據(jù)重力近似等于月球的萬有引力，列方程得出月球表面重力加速度與月球半徑的關(guān)系式，再飛船在繞月球運(yùn)行時(shí)，由萬有引力提供飛船做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力列方程，得到月球質(zhì)量與月球半徑、飛船周期的關(guān)系式，再聯(lián)立求解月球半徑和質(zhì)量的表達(dá)式．

解答：解：（1）機(jī)器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時(shí)讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大小． 
（2）在月球上忽略月球的自轉(zhuǎn)有 
F=G

Mm

R2

對(duì)飛船靠近月球表面做圓周運(yùn)動(dòng)有 
G

Mm

R2

=m

4π2

T2

R
又 T=

t

N

 由以上各式可得：
月球的半徑R=

Ft2

4π2N2m

月球的質(zhì)量M=

F3t4

16π4N4m3G

答：（1）機(jī)器人進(jìn)行第二次測(cè)量的內(nèi)容是測(cè)量物體在月球上所受的重力．
（2）月球的半徑為R=

Ft2

4π2N2m

  月球的質(zhì)量為M=

F3t4

16π4N4m3G

點(diǎn)評(píng)：登月飛船繞月球旋轉(zhuǎn)與人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)行相似，要建立物理模型：飛船繞月做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由月球的萬有引力提供飛船的向心力．