Question

如圖甲所示，水平直線MN下方有豎直向上的勻強電場，其變化規(guī)律如圖乙所示，電場強度E0=

22500

π

V/m，現(xiàn)將一重力不計、比荷

q

m

=10⁶ C/kg的帶電粒子從電場中的C點由靜止釋放，經(jīng)t1=

π

15

×10-5s的時間粒子通過MN上的D點進入勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強度B按圖丙所示規(guī)律變化．（計算結(jié)果均可保留π）

（1）求粒子到達D點時的速率；
（2）求磁感應(yīng)強度B_l=0.3T時粒子做圓周運動的周期和半徑；
（3）若在距D點左側(cè)d=21cm處有一垂直于MN的足夠大的擋板ab，求粒子從C點運動到擋板時所用的時間；
（4）欲使粒子垂直打在擋板ab上，求擋板ab與D點的距離所滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場中被加速運動，由運動與力的關(guān)系可求出初速度．當(dāng)進入磁場時，洛倫茲力提供向心力使其做勻速圓周運動，由牛頓第二定律可算出軌道半徑與周期．
（2）當(dāng)粒子被電場直線加速后垂直進入磁場做半圓運動，接著又減速進入電場后再被加速進入磁場做半徑不同的半圓運動，這樣周而復(fù)始最終垂直打到擋板上．
（3）根據(jù)到擋板的距離可以確定完成幾個周期及在電場中加速與減速的時間，最終求出總時間．
（4）粒子有可能半徑大的垂直打到擋板，也可能半徑小的打到板上；也可能完成

1

4

后打到擋板上，也可能完成1

1

4

，也可能更多．從而根據(jù)垂直打到擋板的要求可確定滿足間距的條件．

解答：解：（1）粒子在電場中做勻加速直線運動，則有
qE=ma 
v₀=at₁  
解得v0=1.5×104m/s
 （2）設(shè)磁感應(yīng)強度B₁=0.3T時，粒子運動的半徑為r₁，運動周期為T₁，
則B1qv0=m

v 2 0

r1

 
T1=

2πm

B1q

 
解得r₁=5cm
T₁=

2π

3

×10-5s
（3）設(shè)磁感應(yīng)強度B₂=0.5T時，粒子運動半徑為r₂，運動周期為T₂，
則B2qv0=m

v 2 0

r2

 
T2=

2πm

B2q

 
解得r₂=3cm 
T₂=

2π

5

×10-5s 
由以上計算可知，粒子的運動軌跡為如圖所示的周期運動，每一個周期運動的水平距離為
S=2（r₁+r₂）=16cm 
所以粒子運動1個整數(shù)周期后余下的距離為△d=d-s=5cm=r₁ 
粒子從C點出發(fā)運動到擋板的時間為t=5t1+

T1

2

+

T2

2

+

T1

4

 
解得t=3.24×10^-5s

（4）欲使粒子垂直打在擋板ab上，擋板ab距D點的距離應(yīng)滿足
d=nr₁+（n-1）r₂
   解得d=（8n-3）×10^-2m（n=1，2，3，…） 
或者  d=（n+1）r₁+nr₂  
    解之得  d=（8n+5）×10^-2m（n=0，1，2，…）

點評：考查牛頓第二定律與運動學(xué)公式的同時，也體現(xiàn)了運動的重復(fù)性與周期性．注意當(dāng)帶電粒子在電場中加速與減速時間相等，由于洛倫茲力不做功，所以速率不變，但磁場不同，則運動半徑也不同．