Question

20．萬有引力定律清楚的向人們揭示復雜運動的背后隱藏著簡潔的科學規(guī)律，天上和地上的萬物遵循同樣的科學法則，具有內在的一致性．
（1）利用萬有引力定律可以測量天體的質量．
英國物理學家卡文迪許，在實驗室里巧妙地利用扭秤裝置，比較精確地測量出了引力常量的數(shù)值，他把自己的實驗說成是“稱量地球的質量”．
已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G．若忽略地球自轉的影響，求地球的質量M．
（2）利用萬有引力定律可以測量地面上山的高度．
由于地球自轉的影響，物體所受的萬有引力的一個分力提供隨地球自轉的向心力，另一個分力為重力，因此地球表面的重力加速度會隨緯度的變化而有所不同．如在北極處由于向心力為0，重力加速度最大；而在赤道處，萬有引力、向心力和重力方向相同，向心力最大，因而重力加速度最�。�用測力計稱量一個相對于地球靜止的小物體的重力，隨稱量位置的變化可能會有不同的結果．已知地球質量為M，自轉周期為T，引力常量為G．將地球視為半徑為R、質量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響．設在地球北極地面稱量時，測力計的讀數(shù)是F₀．
（i）若在北極上空高出地面h處的山頂稱量，測力計讀數(shù)為F₁，求出$\frac{h}{R}$的表達式，并就$\frac{F_1}{F_0}$=99.8%，R=6400km的情形算出h的具體數(shù)值（已知$\sqrt{1.002}$=1.001，計算結果保留兩位有效數(shù)字）．
（ii） 若在赤道地面稱量，測力計讀數(shù)為F₂，求比值$\frac{F_2}{F0}$的表達式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)地球表面的物體受到的重力等于萬有引力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，可解得地球的質量M．
（2）（i）根據(jù)萬有引力等于重力得出$\frac{h}{R}$比值的表達式，并就$\frac{F_1}{F_0}$=99.8%，R=6400km的情形帶入求出具體的數(shù)值．
（ii）在赤道，由于萬有引力的一個分力等于重力，另一個分力提供隨地球自轉所需的向心力，根據(jù)該規(guī)律求出比值$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$的表達式．

解答 解：（1）設地球表面上一物體的質量為m，
根據(jù)地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
（2）（i）在地球北極點不考慮地球自轉，則秤所稱得的重力則為其萬有引力，于是
${F}_{0}=\frac{GMm}{{R}^{2}}$①
${F}_{1}=\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$②
解得：$\frac{h}{R}=\sqrt{\frac{{F}_{0}}{{F}_{1}}}-1$
若$\frac{F_1}{F_0}$=99.8%，R=6400km，
解得：h=$（\sqrt{1.002}-1）×6.4×1{0}^{6}m=6.4×1{0}^{3}m$，
（ii） 在赤道處，根據(jù)向心力公式得：
${G\frac{Mm}{{R}^{2}}-}_{\;}{F}_{2}=m{ω}^{2}R$=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$③
由①③解得：$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}=1-\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}GM}$
答：（1）地球的質量M為$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）（i）$\frac{h}{R}$的表達式為$\frac{h}{R}=\sqrt{\frac{{F}_{0}}{{F}_{1}}}-1$，h的具體數(shù)值為6.4×10³m；
（ii）比值$\frac{F_2}{F0}$的表達式為$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}=1-\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}GM}$．

點評 解決本題的關鍵知道在地球的兩極，萬有引力等于重力，在赤道，萬有引力的一個分力等于重力，另一個分力提供隨地球自轉所需的向心力．