Question

6．宇航員在地球上用一根長(zhǎng)0.5m細(xì)繩拴著一個(gè)小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，用傳感器測(cè)出小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度大小v=3m/s及繩上的拉力F=4N．若宇航員將此小球和細(xì)繩帶到某星球上，在該星球表面上讓小球也在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，用傳感器測(cè)出在最低點(diǎn)時(shí)繩上拉力F₁=9N，速度大小v₁=2$\sqrt{2}$m/s取地球表面重力加速度g=10m/s²，空氣阻力不計(jì)．求：
（1）該小球的質(zhì)量m；
（2）該星球表面附近的重力加速度g′；
（3）已知該星球的半徑與地球半徑之比為R_星：R_地=1：4，求該星球與地球的質(zhì)量之比M_星：M_地．

Answer 1

分析 （1）小球在最高點(diǎn)A時(shí)，由重力和繩子的拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列出等式求解球的質(zhì)量m
（2）該星球表面上讓小球也在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在最低點(diǎn)根據(jù)合力提供向心力列式，求解星球表面附近的重力加速度．
（3）根據(jù)重力近似等于萬(wàn)有引力，分別計(jì)算出地球的質(zhì)量和該星球的質(zhì)量，再求比值．

解答 解：（1）小球在最高點(diǎn)時(shí)，根據(jù)合力提供向心力得
   mg+F=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
所以$m=\frac{F}{\frac{{v}^{2}}{L}-g}$=$\frac{4}{\frac{{3}^{2}}{0.5}-10}kg$=0.5kg
（2）該星球表面上讓小球也在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在最低點(diǎn)根據(jù)合力提供向心力，${F}_{1}-mg′=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$
所以$g′=\frac{{F}_{1}-m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}}{m}$=$\frac{9-0.5×\frac{8}{0.5}}{0.5}m/{s}^{2}$=2m/s²
（3）在地球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力$mg=G\frac{{M}_{地}m}{{{R}_{地}}^{2}}$，得地球的質(zhì)量${M}_{地}=\frac{g{{R}_{地}}^{2}}{G}$
同理該星球的質(zhì)量${M}_{星}=\frac{g′{{R}_{星}}^{2}}{G}$
所以$\frac{{M}_{星}}{{M}_{地}}=\frac{g′}{g}•（\frac{{R}_{星}}{{R}_{地}}）^{2}$=$\frac{2}{10}×（\frac{1}{4}）^{2}=\frac{1}{80}$
答：（1）該小球的質(zhì)量是0.5kg；
（2）該星球表面附近的重力加速度為2m/s²；
（3）該星球與地球的質(zhì)量之為1：80．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵運(yùn)用牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定律和掌握萬(wàn)有引力等于重力解答．該星球表面上讓小球也在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律列出等式求解星球表面附近的重力加速度．