Question

17．宇航員乘坐航天飛船，在距月球表面高度為H的圓軌道繞月運(yùn)行．經(jīng)過多次變軌最后登上月球．宇航員在月球表面做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：將一片羽毛和一個(gè)鉛球從高度為h處釋放，二者經(jīng)時(shí)間t同時(shí)落到月球表面．已知引力常量為G，月球半徑為R，求：
（1）月球的質(zhì)量（不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響）；
（2）航天飛船在靠近月球表面圓軌道運(yùn)行的速度與高度為H圓軌道運(yùn)行速度之比．

Answer 1

分析 根據(jù)自由下落的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解月球表面的重力加速度．
忽略月球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式．
研究衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式．

解答 解：（1）將某物體由距月球表面高h(yuǎn)處釋放，經(jīng)時(shí)間t后落到月球表面．根據(jù)自由下落的運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：
h=$\frac{1}{2}$gt²
g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$ 
忽略月球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg 
得月球的質(zhì)量為：M=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力知：F=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
航天飛船在靠近月球表面圓軌道運(yùn)行的速度為：v₁=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{2hR}{{t}^{2}}}$
高度為H圓軌道運(yùn)行速度為：v₂=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{2h{R}^{2}}{R+H}}$ 
$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{R+H}{R}}$
答：（1）月球的質(zhì)量為$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$；
（2）航天飛船在靠近月球表面圓軌道運(yùn)行的速度與高度為H圓軌道運(yùn)行速度之比$\sqrt{\frac{R+H}{R}}$．

點(diǎn)評(píng) 把星球表面的物體運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)結(jié)合起來(lái)是考試中常見的問題．
重力加速度g是天體運(yùn)動(dòng)研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)研究聯(lián)系的物理量