Question

12．一質量m=0.2kg的小球從距水平地面H=10m的高度無初速度釋放，經t=2s的時間到達地面，后經地面作用豎直反彈．每次與地面碰撞時間忽略不計．碰撞后速度大小不變；小球在空中所受的空氣阻力大小f恒定．取g=10m/s²．求：
（1）在空中所受的空氣阻力大小f；
（2）第一次碰撞后上升的最大高度；
（3）第99次碰撞后上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）由勻變速直線運動的位移公式求出小球下落的加速度，由牛頓第二定律求出空氣阻力．
（2）求出小球第一次反彈后的速度，小球向上做勻減速直線運動，由牛頓第二定律求出加速度，然后求出反彈的高度．
（3）應用勻變速直線運動速度位移公式求出小球上升的高度．

解答 解：（1）小球下落時做勻加速直線運動，
下落的加速度：a₁=$\frac{2H}{{t}^{2}}$=5m/s²，
對小球，由牛頓第二定律得：
mg-f=ma，解得：f=1N；
（2）小球落地時的速度：v=a₁t=10m/s，
由題意可知，小球反彈后向上運動的初速度為10m/s，
小球向上運動過程，加速度：a₂=$\frac{mg+f}{m}$=15m/s²，
小球向上做勻減速直線運動，上升的最大高度：H₁=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{10}{3}$m；
（3）第一次碰撞后，下降過程的末速度：v₂²=2a₁H₁，
第二次碰撞后上升過程：v₂²=2a₂H₂，解得：H₂=$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$H₁=（$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$）²H，
…
第99次碰撞后，上升過程：H₉₉=（$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$）⁹⁹H=$\frac{10}{{3}^{99}}$m；
答：（1）在空中所受的空氣阻力大小f為1N；
（2）第一次碰撞后上升的最大高度為$\frac{10}{3}$m；
（3）第99次碰撞后上升的最大高度為$\frac{10}{{3}^{99}}$m．

點評 本題考查了求空氣阻力、小球上升的最大高度，分析清楚小球的運動過程，應用勻變速直線運動的運動規(guī)律與牛頓第二定律可以解題，解題時注意數學歸納法的應用．