Question

如圖所示，ab是水平的光滑軌道，bc是與ab相切的位于豎直平面內(nèi)、半徑R=0.4m的半圓形光滑軌道．現(xiàn)在A、B兩個(gè)小物體之間夾一個(gè)被壓縮的彈簧（彈簧未與A、B掛接）后用細(xì)線拴住，使其靜止在軌道ab上．當(dāng)燒斷細(xì)線后，A物體被彈簧彈開，此后它恰能沿半圓形軌道通過其最高點(diǎn)c．已知A和B的質(zhì)量分別為m_A=0.1kg和m_B=0.2kg，重力加速度g取10m/s²，所有物體均可視為質(zhì)點(diǎn)．求：
（1）A在半圓形軌道的最高點(diǎn)c處時(shí)的速度大小；
（2）A剛過半圓形軌道最低點(diǎn)b時(shí)，對(duì)軌道的壓力大小；
（3）燒斷細(xì)線前，彈簧的彈性勢能．

Answer 1

分析：（1）能到達(dá)半圓形軌道最高點(diǎn)的臨界條件是v≥

gR

，恰好能通過最高點(diǎn)說明在最高點(diǎn)重力完全提供向心力，依此求解即可；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒可以求出小球在b點(diǎn)時(shí)的速度，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)合力提供向心力求解即可；
（3）燒斷細(xì)線前后，系統(tǒng)滿足動(dòng)能量守恒和機(jī)械能守恒，據(jù)此求解即可．

解答：解：（1）設(shè)彈簧彈開后B物體與A物體的速度大小分別為v1和v2，A物體在c點(diǎn)的速度大小為v3．由于A恰能過c點(diǎn)，說明A在c點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道無壓力，此時(shí)由重力提供向心力由牛頓第二定律有mAg=mA

v 2 3

R

代入數(shù)據(jù)解得v₃=2m/s（1分）
（2）A從b點(diǎn)到c點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒有

1

2

mA

v

2 2

=

1

2

mA

v

2 3

+2mAgR
v2=

v 2 3 +4gR

  代入數(shù)據(jù)解得v2=2

5

m/s
在b點(diǎn)，軌道對(duì)A的支持力F與重力mAg的合力提供向心力
由牛頓第二定律：F-mAg=mA

v 2 2

R

代入數(shù)據(jù)解得F=6N  
由牛頓第三定律可得A對(duì)軌道的壓力大小為6N
（3）A、B被彈開的過程中，它們組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
有m_Av₂-m_Bv₁=0
代入數(shù)據(jù)解得v1=

5

m/s
該過程中A、B和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
有EP=

1

2

mA

v

2 2

+

1

2

mB

v

2 1

代入數(shù)據(jù)解得燒斷細(xì)線前，彈簧的彈性勢能E_P=1.5J
答：（1）A在半圓形軌道的最高點(diǎn)c處時(shí)的速度大小為v₃=2m/s；
（2）A剛過半圓形軌道最低點(diǎn)b時(shí)，對(duì)軌道的壓力大小為6N；
（3）燒斷細(xì)線前，彈簧的彈性勢能為1.5J．

點(diǎn)評(píng)：小球剛好到達(dá)圓管形軌道最高點(diǎn)的條件是：到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度為零；應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律、能量守恒定律即可正確解題．