Question

12．靜放在光滑水平面上的小車左端有$\frac{1}{4}$光滑圓弧滑道AB，與水平滑到相切于B點，水平滑道上的BC部分粗糙，其余部分光滑，右端固定一個輕彈簧P，整個滑道質(zhì)量為m₁，如圖所示，現(xiàn)讓質(zhì)量為m₂的滑塊（可視為質(zhì)點）自A點由靜止釋放，滑塊滑過BC后與小車右端彈簧碰撞，第一次被彈簧彈回后沒有再滑上圓弧滑道，已知粗糙水平滑道BC長l=1.0m，滑塊與BC間的動摩擦因數(shù)μ=0.15，m₁=2m₂，取g=10m/s²，求：
（1）$\frac{1}{4}$光滑圓弧滑道AB的半徑大小范圍；
（2）整個過程中小車獲得的最大速度．

Answer 1

分析 （1）系統(tǒng)水平方向動量守恒，應(yīng)用動量守恒定律與能量守恒定律求出R的臨界值，然后確定其范圍．
（2）分析清楚過程，確定小車受到最大的位置，然后應(yīng)用動量守恒定律與能量守恒定律求出最大速度．

解答 解：（1）小車與滑塊組成的系統(tǒng)在水平方向所受合外力為零，系統(tǒng)在水平方向動量守恒，
系統(tǒng)初狀態(tài)在水平方向動量為零，由動量守恒定律可知，系統(tǒng)在末狀態(tài)系統(tǒng)動量為零，
最終小車與滑塊均靜止，小車與滑塊的動能都為零，由能量守恒定律可知，滑塊重力勢能的減少量轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，
當(dāng)滑塊靜止在C處時，圓弧滑道的半徑最小，由能量守恒定律得：
m₂gR_最小=μm₂gl，
解得：R_最小=0.15m，
當(dāng)滑塊最終靜止在B處時，圓弧滑道的半徑最大，由能量守恒定律得：
m₂gR_最大=μm₂g•2l，
解得：R_最大=0.3m，
則$\frac{1}{4}$光滑圓弧滑道AB的半徑大小范圍是：0.15m≤R≤0.3m；
（2）當(dāng)滑塊由靜止剛滑到圓弧滑道的最低點時，小車的速度最大，小車與滑塊組成的系統(tǒng)在水平方向動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：
m₂v_滑塊-m₁v_小車=0，
由機(jī)械能守恒定律得：m₂gR=$\frac{1}{2}$m₂v_滑塊²+$\frac{1}{2}$m₁v_小車²，
已知：m₁=2m₂，
解得：v_小車=$\sqrt{\frac{gR}{3}}$，
由于0.15m≤R≤0.3m，
則：R=0.3m時，小車的速度最大，v_小車最大=$\sqrt{\frac{g{R}_{最大}}{3}}$=$\sqrt{\frac{10×0.3}{3}}$=1m/s；
答：（1）$\frac{1}{4}$光滑圓弧滑道AB的半徑大小范圍是：0.15m≤R≤0.3m；
（2）整個過程中小車獲得的最大速度是1m/s．

點評 本題考查了求半徑范圍、小車的最大速度，分析清楚物體運動過程是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用動量守恒定律、能量守恒定律、機(jī)械能守恒定律即可正確解題．