Question

如圖所示為倉庫中常用的皮帶傳輸裝置示意圖，它由兩臺皮帶傳送機(jī)組成，一臺水平，A、B兩端相距3m，另一臺傾斜，傳送帶與地面的傾角θ=37°，C、D相距4.45m，B、C相距很近．水平部分AB以 v₀=5m/s的速率順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．將質(zhì)量為10kg的一袋大米無初速度地放在A端，到達(dá)B端后，速度大小不變地傳到傾斜的CD部分，米袋與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.5，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）若CD部分傳送帶不運(yùn)轉(zhuǎn)，求米袋沿傳送帶所能上升的最大距離．
（2）若要米袋能被傳送到D端，求CD部分順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的最小速度，以及米袋從C端到 D端所用的最長時(shí)間．

Answer 1

（1）米袋在AB上加速時(shí)的加速度a0=

μmg

m

=μg=5m/s2．
米袋的速度達(dá)到v₀=5m/s時(shí)，滑行的距離s0=

v02

2a0

=2.5m＜AB=3m，因此米袋在到達(dá)B點(diǎn)之前就與傳送帶達(dá)到共速．
設(shè)米袋在CD上運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a，由牛頓第二定律得，
mgsinθ+μmgcosθ=ma
代入數(shù)據(jù)得a=10m/s²．
所以米袋沿傳送帶所能上升的最大距離s=

v02

2a

=1.25m．
（2）設(shè)CD部分運(yùn)轉(zhuǎn)速度為v時(shí)米袋恰能到達(dá)D點(diǎn)（即米袋到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度恰好為零），則米袋速度減為v之前的加速度為a1=gsinθ+μgcosθ=10m/s2．
米袋速度小于v至減為零前的加速度大小為a2=gsinθ-μgcosθ=2m/s2．
由

v02-v2

2a1

+

v2

2a2

=4.45m．
解得v=4m/s，即要把米袋送到D點(diǎn)，CD部分順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的最小速度為4m/s．
米袋恰能運(yùn)到D點(diǎn)所用時(shí)間最長為tm=

v0-v

a1

+

v

a2

=2.1s．
答：（1）米袋沿傳送帶所能上升的最大距離為1.25m．
（2）CD部分順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)的最小速度為4m/s，米袋從C端到 D端所用的最長時(shí)間為2.1s．