Question

12．為了驗證拉住月球使它圍繞地球運動的力與拉著蘋果下落的力以及地球、眾行星與太陽之間的作用力是同一性質的力，同樣遵循平方反比定律，牛頓進行了著名的“月地檢驗”．已知月地之間的距離為60R（R為地球半徑），月球圍繞地球公轉的周期為T，引力常量為G．則下列說法中正確的是（　　）

• A． 物體在月球軌道上受到的地球引力是其在地面附近受到的地球引力的$\frac{1}{60}$
• B． 物體在月球軌道上繞地球公轉的向心加速度是其在地面附近自由下落時的加速度的$\frac{1}{60R}$
• C． 由題中信息可以計算出月球繞地球公轉的線速度為$\frac{2πR}{T}$
• D． 由題中信息可以計算出地球的密度為$\frac{{3π×{{60}^3}}}{{G{T^2}}}$

Answer 1

分析 假設拉住月球使它圍繞地球運動的力與地球上物體受到的引力是同一種力，根據已知量結合牛頓第二定律求出月球繞地球運行的加速度進行比較分析

解答 解：A、物體在月球軌道上受到地球引力$F=G\frac{Mm}{（60R）_{\;}^{2}}$，物體在地面附近受到地球引力$F′=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，$\frac{F}{{F}_{\;}^{′}}=\frac{1}{6{0}_{\;}^{2}}$，故物體在月球軌道上受到的地球引力是其在地面附近受到的地球引力的$\frac{1}{6{0}_{\;}^{2}}$，故A錯誤；
B、根據萬有引力提供向心力，設物體在月球軌道上繞地球公轉的向心加速度為a，$G\frac{Mm}{（60R）_{\;}^{2}}=ma$，得$a=\frac{GM}{（60R）_{\;}^{2}}$；在地面附近自由下落$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=ma′$，得$a′=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$，所以$\frac{a}{a′}=\frac{1}{6{0}_{\;}^{2}}$，即物體在月球軌道上繞地球公轉的向心加速度是其在地面附近自由下落時的加速度的$\frac{1}{60}$，故B錯誤；
C、根據$v=\frac{2πr}{T}=\frac{2π×60R}{T}=\frac{120πR}{T}$，故C錯誤；
D、根據萬有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{（60R）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（60R）$，可得地球質量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（60R）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，根據密度公式可知地球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}（60R）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}}=\frac{3π×6{0}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，故D正確
故選：D

點評 萬有引力定律通過理論進行科學、合理的推導，再由實際數據進行實踐證明，從而進一步確定推導的正確性．