Question

18．如圖所示，質量M=10kg，上表面光滑的足夠長木板在水平拉力F=50N作用下，以v₀=5m/s初速度沿水平地面向右勻速運動，現(xiàn)有足夠多的小鐵塊，它們質量均為m=1kg．現(xiàn)將一鐵塊無初速地放在木板最右端，當木板運動了L=1m時，又無初速地在木板最右端放上第二個鐵塊，只要木板運動了L就在木板最右端無初速放一鐵塊．求：
（1）第一個鐵塊放上后，木板運動L=1m時，木板的速度多大？
（2）最終有幾個鐵塊能留在木板上？
（3）最后一個鐵塊與木板右端距離為多大？（g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）開始木板做勻速運動，由平衡條件求出木板受到的滑動摩擦力，然后由滑動摩擦力公式求出動摩擦因數．鐵塊放在木板上后，木板對地面的壓力變大，木板受到的滑動摩擦力變大，由牛頓第二定律和運動學公式結合可以求出即將放上第1塊鐵塊時木板的速度．
（2）運用歸納法分別得到第2塊鐵塊放上后、第3塊鐵塊放上后…第n塊鐵塊放上后木板的速度表達式，得到v_n的表達式，要使木板停下，v_n=0，即可求解．
（3）第n塊木塊時木板停止運動，則先求出n時的速度和加速度，然后求出加上n時的位移即可．

解答 解：（1）木板最初做勻速直線運動，處于平衡狀態(tài)，由平衡條件得：
豎直方向：F_N=Mg，
水平方向：F_f=F，
滑動摩擦力F_f=μF_N，則得F=μMg
解得：μ=0.5；
放第1塊鐵塊后，木板做勻減速運動，則有：
μ（M+m）g-F=Ma₁；
2a₁L=${{v}_{0}}^{2}$
代入數據解得：v₁=2$\sqrt{6}$m/s
（2）設最終有n塊鐵塊能靜止在木板上．
則木板運動的加速度大小為：a_n=$\frac{μnmg}{M}$
第1塊鐵塊放上后有：2a₁L=${{v}_{0}}^{2}$-${{v}_{1}}^{2}$
第2塊鐵塊放上后有：2a₂L=${{v}_{1}}^{2}$-${{v}_{2}}^{2}$…
第n塊鐵塊放上后有：2a_nL=${{v}_{n-1}}^{2}$-${{v}_{n}}^{2}$
由以上各相加得：（1+2+3+…+n）$•2•\frac{μmg}{M}•L={{v}_{0}}^{2}-{{v}_{n}}^{2}$
要使木板停下來，必須有v_n=0，代入解得：6＜n＜7
故最終有7塊鐵塊放在木板上．
（3）加上第7塊木塊時的位移是6L=6m，速度是：$（1+2+3…+6）×2\frac{μmg}{M}L={{v}_{0}}^{2}-{{v}_{6}}^{2}$
代入數據解得：v₆=2m/s
${a}_{7}=\frac{7μmg}{M}=3.5m/{s}^{2}$
木板最后階段的位移：${x}_{7}=\frac{{{v}_{6}}^{2}}{2{a}_{7}}=\frac{{2}^{2}}{2×3.5}=0.57m$
木板的總位移：x=6L+x₇=6+0.57=6.57m
答：（1）第1塊鐵塊放上后，木板運動了1時，木板的速度為2$\sqrt{6}$m/s．
（2）最終木板上放有7塊鐵塊．
（3）最后一塊鐵塊與木板右端距離是6.57 m

點評 熟練應用平衡條件、摩擦力公式、牛頓第二定律和運動學公式即可正確解題，關鍵運用歸納法，得到速度的通項．