Question

8．如圖所示，AB是光滑的四分之一圓弧軌道，最低點B處切線水平，B點離地高為H，圓弧軌道的華徑為R=0.2m，CDE為截面為三角形的斜面體C點與B點在同一豎直線上，CB間的距離H=0.9m，∠α=37°，讓一不計大小的小球從A點由靜止釋放，從B點拋出，小球恰好落在CD的中點，重力加速度為g=10m/s²，求：
（1）D點離地面的高度；
（2）要使小球能從D點無碰撞地進(jìn)入斜面體右側(cè)斜面DE，并沿斜面下滑，應(yīng)將四分之一圓弧軌道向上平移多高？此時θ應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)動能定理求出小球到達(dá)B點時的速度，然后做平拋運動，結(jié)合平拋運動的規(guī)律以及幾何關(guān)系，求出D點離地高度．
（2）根據(jù)平拋規(guī)律求出時間和水平、豎直位移，將D點速度分解為水平分速度和豎直分速度，求出夾角的正切值．

解答 解：（1）小球從光滑圓弧的A點滑到B點，根據(jù)動能定理得$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
解得$v=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.2}=2m/s$
離開B點做平拋運動，水平方向：x=vt
豎直方向：$y=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
根據(jù)幾何關(guān)系有：$tanα=\frac{H-\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}}{x}=\frac{H-\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}}{vt}$
代入數(shù)據(jù)解得t=0.3s
斜面中點到地面的距離$y′=H-\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}=0.9-\frac{1}{2}×10×0．{3}_{\;}^{2}=0.45m$
根據(jù)幾何關(guān)系D點距地面的高度${h}_{D}^{\;}=2y′=0.9m$
（2）因為要使小球能從D點無碰撞地進(jìn)入斜面體右側(cè)斜面DE，所以小球從D點做平拋運動的末速度與斜面平行，
根據(jù)幾何關(guān)系$tanα=\frac{{h}_{D}^{\;}}{X}$
代入數(shù)據(jù)得x=1.2m
平拋運動的時間$t=\frac{x}{v}=\frac{1.2}{2}=0.6s$
平拋運動豎直位移$y=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}=1.8m$
移動前B與D等高，所以四分之一圓弧軌道向上平移1.8m
D點：${v}_{y}^{\;}=gt=6m/s$
$tanθ=\frac{{v}_{y}^{\;}}{v}=\frac{6}{2}=3$
答：（1）D點離地面的高度0.9m；
（2）要使小球能從D點無碰撞地進(jìn)入斜面體右側(cè)斜面DE，并沿斜面下滑，應(yīng)將四分之一圓弧軌道向上平移1.8m高，此時θ應(yīng)滿足條件tanθ=3

點評 本題考查了動能定理和平拋運動的規(guī)律，關(guān)鍵是明確題意，分析清楚運動過程的性質(zhì)，選擇合適的規(guī)律解題．