Question

2．如圖所示，A、B是兩個(gè)完全相同的長方形木塊，長為L，疊放在一起，放在水平桌面上，端面與桌邊平行，A木塊放在B上，右端有$\frac{L}{4}$伸出．
（1）為保證兩木塊不翻倒，則木塊B伸出桌邊的長度不能超過多少？
（2）若A木塊右端伸出距離沒有限制，則為保證兩木塊不翻倒，木塊A右端伸出桌邊的離桌邊的最大距離為多少？

Answer 1

分析 該題看似屬于力矩的平衡問題，其本質(zhì)是屬于質(zhì)點(diǎn)組的穩(wěn)度問題，所以可以分析質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心的位置，然后結(jié)合穩(wěn)度的穩(wěn)定條件即可解答．

解答 解：（1）兩塊磚疊放在一起時(shí)，由于磚的質(zhì)量是均勻分布的，而且兩塊磚疊放時(shí)具有中心對稱性，所以當(dāng)A木塊放在B上，右端有$\frac{L}{4}$伸出時(shí)，質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心位置如圖1，質(zhì)心的位置到B的左端的距離設(shè)為l，則質(zhì)心的位置到A的右端的距離也是l，所以：
$2l=L+\frac{1}{4}L=\frac{5}{4}L$   ①
即：$l=\frac{5}{8}L$   ②
為保證兩木塊不翻倒，則質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心的位置必須在桌面以內(nèi)，恰好不翻到時(shí)，質(zhì)心的位置恰好在桌面的邊緣的上方，所以木塊B伸出桌邊的長度不能超過：
${x}_{1}=L-\frac{5}{8}L=\frac{3}{8}L$

（2）若A木塊右端伸出距離沒有限制，則A的右端伸出B越長，根據(jù)②式可知，A的右端到 質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心的距離就越大，所以A的右端到桌面的邊緣的距離也就越大．
若A在B的上面不翻到，則A的質(zhì)心不能超出B的右端，即A的質(zhì)心恰好在B的右端時(shí)，A在B上恰好不翻到；在該條件下，質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心的位置恰好在桌面的邊緣的上方時(shí)，A的右端伸出桌邊的離桌邊的距離最大．
當(dāng)A的質(zhì)心恰好在B的右端時(shí)，如圖2，根據(jù)幾何圖形的對稱性可知，A伸出B的右端的部分長度恰好是$\frac{1}{2}L$，設(shè)質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心到A的右端的距離為l′，則：
$2l′=L+\frac{1}{2}L=\frac{3}{2}L$
即A右端伸出桌邊的離桌邊的最大距離為：$l′=\frac{3}{4}L$
答：（1）為保證兩木塊不翻倒，則木塊B伸出桌邊的長度不能超過$\frac{3}{8}L$；
（2）若A木塊右端伸出距離沒有限制，則為保證兩木塊不翻倒，木塊A右端伸出桌邊的離桌邊的最大距離為$\frac{3}{4}L$．

點(diǎn)評 該題看似屬于力矩的平衡問題，使用力矩平衡條件也可以解答，但是解答的思路與解題的步驟都非常的繁瑣．若抓住該題的本質(zhì)，利用質(zhì)點(diǎn)組的穩(wěn)度問題即可順利解答．