Question

10．卡文迪許把他自己的實(shí)驗(yàn)說成是“稱地球的重量”（嚴(yán)格地說應(yīng)是“測量地球的質(zhì)量”）．如果已知引力常量G、地球半徑R和重力加速度g，那么我們就可以計(jì)算出地球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$；進(jìn)一步可以計(jì)算出地球的密度ρ=$\frac{3g}{4πGR}$；如果已知某行星繞太陽運(yùn)行所需的向心力是由太陽對該行星的萬有引力提供的，該行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，只要測出行星的公轉(zhuǎn)周期T和行星距太陽的距離r就可以計(jì)算出太陽的質(zhì)量M_太=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，求出地球的質(zhì)量．根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，只有知道行星的公轉(zhuǎn)周期和行星距太陽的距離，即可求出太陽的質(zhì)量．

解答 解：根據(jù)萬有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
則地球密度為：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3g}{4πGR}$
根據(jù)萬有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．知只要知道行星的公轉(zhuǎn)周期T和行星距太陽的距離r，即可計(jì)算出太陽的質(zhì)量．
故答案為：$\frac{g{R}^{2}}{G}$，$\frac{3g}{4πGR}$，$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，以及萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$．