Question

12．如圖所示，斜面的傾角為30°放在水平面上，輕繩通過兩個滑輪于A相連，輕繩的另一端固定于天花板上，不計輕繩與滑輪的摩擦，物塊A的質(zhì)量為m，且與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ，不計滑輪的質(zhì)量，掛在物塊B后，當動滑輪兩邊輕繩的夾角為90°時，A，B恰能保持靜止，整個裝置處于靜止狀態(tài)，重力加速度為g，最大靜摩擦近似等于滑動摩擦．求：
（1）物塊B的質(zhì)量為多少時，A與斜面恰好沒有摩擦力作用；
（2）A與斜面恰好沒有摩擦力作用時，水平地面對斜面的摩擦力為多大；
（3）物塊B的質(zhì)量滿足什么條件時，物塊A能在斜面上保持靜止．

Answer 1

分析 （1）當A與斜面恰好沒有摩擦力作用時，A受到重力、斜面的支持力和繩子的拉力，根據(jù)平衡條件求出繩子的拉力，再C對滑輪研究，由平衡條件求B的質(zhì)量．
（2）對斜面和A整體研究，由平衡條件求解水平地面對斜面的摩擦力．
（3）當A剛要下滑時B的質(zhì)量最小，當A剛好上滑時B的質(zhì)量最大，A剛要滑動時靜摩擦力達到最大值，根據(jù)平衡條件解答．

解答 解：（1）當A與斜面間的摩擦力F_f=0N時，A受到重力、斜面的支持力和繩子的拉力，則得繩子的拉力
  T=mgsin30°=0.5mg
對于滑輪有：$\sqrt{2}$T=m_Bg
可得 m_B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m
（2）對斜面和A整體研究，由平衡條件得：
水平方向有：f=Tcos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$mg
（3）解：以A為研究對象，受力分析，如圖，當B的質(zhì)量最大時，A有向上的運動趨勢，靜摩擦力達到最大．
根據(jù)共點力平衡條件，有：
  mgsin30°+f_m=T              
  N=mgcos30°                
又 f_m=μN                     
聯(lián)立得：T=$\frac{1+\sqrt{3}μ}{2}$mg
以動滑輪為研究對象，有：
 m_Bg=$\sqrt{2}$T
解之得：m_B=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}μ}{2}$m
同理，當A剛要下滑時b的質(zhì)量最小，A所受的靜摩擦力沿斜面向上達到最大，則有：
  mgsinα=μmgcosα+T′
以動滑輪為研究對象，有：m_B′g=$\sqrt{2}$T′
聯(lián)立解得 m_B′=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}μ}{2}$m
故要保證物塊A能在斜面上保持靜止，B的質(zhì)量范圍為：$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}μ}{2}$m≤m_B≤$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}μ}{2}$m．
答：（1）物塊B的質(zhì)量為$\frac{\sqrt{2}}{2}$m時，A與斜面恰好沒有摩擦力作用；
（2）A與斜面恰好沒有摩擦力作用時，水平地面對斜面的摩擦力為$\frac{\sqrt{2}}{2}$mg；
（3）物塊B的質(zhì)量滿足條件為：$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}μ}{2}$m≤m_B≤$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}μ}{2}$m時，物塊A能在斜面上保持靜止．

點評 解決本題的關鍵要把握物體剛要滑動的臨界條件：靜摩擦力達到最大值，靈活選取研究對象，抓住A與滑輪之間的聯(lián)系：繩子，由平衡條件和摩擦力公式解答．