Question

如圖甲所示，一個(gè)絕緣傾斜直軌道固定在豎直面內(nèi)，軌道的AB部分粗糙，BF部分光滑．整個(gè)空間存在著豎直方向的周期性變化的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖乙所示，t=0時(shí)電場(chǎng)方向豎直向下．在虛線的右側(cè)存在著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=

2πm

q

．現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m，電量為q的帶正電的物體（可以視為質(zhì)點(diǎn)），在t=0時(shí)從A點(diǎn)靜止釋放，物體與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，t=2s時(shí)刻，物體滑動(dòng)到B點(diǎn)．在B點(diǎn)以后的運(yùn)動(dòng)過程中，物體沒有離開磁場(chǎng)區(qū)域，物體在軌道上BC段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1s，在軌道上CD段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間也為1s．（物體所受到的洛倫茲力小于2mgcosθ）
（1）由于軌道傾角未知，一位同學(xué)拿到了量角器，將其測(cè)出，記為θ．在AB階段，由此可以計(jì)算出物塊滑動(dòng)到B時(shí)的速度，請(qǐng)你幫他完成此次計(jì)算，并定性說明物體在AB階段做何種運(yùn)動(dòng)？
（2）另一位同學(xué)并未使用量角器，而是用直尺測(cè)出了BC以及CD的長(zhǎng)度，記為S₁，S₂，同樣可以得到軌道傾角θ，請(qǐng)你幫他完成此次計(jì)算．（計(jì)算出θ的三角函數(shù)值即可）
（3）觀察物體在D點(diǎn)以后的運(yùn)動(dòng)過程中，發(fā)現(xiàn)它并未沿著斜面運(yùn)動(dòng)，而且物塊剛好水平打在H點(diǎn)處的擋板（高度可以忽略）上停下，斜面傾角θ已知，求F點(diǎn)與H點(diǎn)的間距L，并在圖乙中畫出物體全程的運(yùn)動(dòng)軌跡．

Answer 1

分析：（1）在0～1s內(nèi)，電場(chǎng)力方向豎直向下，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，從而根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出末速度，在1～2s內(nèi)，電場(chǎng)力方向豎直向上，大小等于重力，物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出物體在光滑斜面上運(yùn)動(dòng)的加速度，根據(jù)相等時(shí)間內(nèi)的位移之差是一恒量，求出傾角θ的表達(dá)式．
（3）物體在D點(diǎn)重力和電場(chǎng)力平衡，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓弧的軌跡恰好相切于H點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的半徑公式求出F點(diǎn)與H點(diǎn)的間距L．

解答：解：（1）由題意可知：qE=mg… ①
t=0到t=1s過程中，對(duì)物體受力分析，由牛頓第二定律得：
2mgsinθ-μ?2mgcosθ=ma…②
則v_B=at=2gsinθ-2μgcosθ，方向沿斜面向下…③
t=1s到t=2s過程中，受力分析知物體所受合力為零，做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
所以在t=0到t=2s過程中，物體先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)再做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（2）因?yàn)樾泵婀饣�，物體受重力、支持力和洛倫茲力，根據(jù)牛頓第二定律知：a=

(mg+qE)sinθ

m

=2gsinθ
物體在BC及CD階段做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．
s2-s1=at2
即s₂-s₁=2gsinθ 得：sinθ=

s2-s1

2g

在C點(diǎn)物體會(huì)脫離斜面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
（3）運(yùn)動(dòng)軌跡如圖．由幾何關(guān)系可知，

L

r

=tan

θ

2

   ⑦
qvDB=m

vD2

r

⑧
r=

mvD

qB

⑨
v_D=v_B+a?2t⑩
由②③⑦⑨⑩可得 L=

m(6gsinθ-2μgcosθ)

qB

tan

θ

2

．
答：（1）物塊滑動(dòng)到B時(shí)的速度為2gsinθ-2μgcosθ，方向沿斜面向下．物體先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)再做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（2）sinθ=

s2-s1

2g

．
（3）F點(diǎn)與H點(diǎn)的間距L=

m(6gsinθ-2μgcosθ)

qB

tan

θ

2

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵搞清物體在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)物體的受力，判斷物體的運(yùn)動(dòng)，物體經(jīng)歷了勻加速直線運(yùn)動(dòng)、勻速直線運(yùn)動(dòng)，以及勻加速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)，過程較復(fù)雜，且與數(shù)學(xué)幾何結(jié)合的比較緊密，對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求較高．