Question

如圖所示，裝置BO′O可繞豎直軸O′O轉(zhuǎn)動，可視為質(zhì)點的小球A與兩細線連接后分別系于B、C兩點，裝置靜止時細線AB水平，細線AC與豎直方向的夾角θ=37°．已知小球的質(zhì)量m=1kg，細線AC長L=1m，B點距轉(zhuǎn)軸的水平距離和距C點豎直距離相等．（重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

（1）若裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度為ω₁時，細線AB上的張力為0而細線AC與豎直方向的夾角仍為37°，求角速度ω₁的大小；
（2）若裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度為ω₂時，細線AB剛好豎直，且張力為0，求此時角速度ω₂的大��；
（3）裝置可以以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動，試通過計算在坐標圖中畫出細線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系圖象．

Answer 1

分析：（1）細線AB上張力恰為零時，小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度ω₁的大�。�
（2）細線AB剛好豎直，且張力為0時，由幾何關(guān)系求出細線AC與豎直方向的夾角．細線AB松弛，根據(jù)小球重力和拉力的合力提供向心力求出此時角速度ω₂的大�。�
（3）根據(jù)牛頓第二定律分別求出ω≤ω₁=

5

2

2

rad/s時、ω₁≤ω≤ω₂時、ω＞ω₂時拉力的大小，從而確定細線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系，并作出圖象．

解答：解（1）細線AB上張力恰為零時，小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有：
   mgtan37°=m

ω

2 1

lsin37°
解得：ω1=

g lcos37°

=

50 4

rad/s=

5

2

2

rad/s
（2）細線AB恰好豎直，但張力為零時，設細線AC與豎直方向的夾角為θ′．
由幾何關(guān)系得：cosθ′=

3

5

，得θ'=53°
根據(jù)牛頓第二定律得：mgtanθ′=m

ω

2 2

lsinθ′ 
解得，ω2=

50 3

rad/s
（3）當ω≤ω1=

5

2

2

rad/s時，細線AB水平，細線AC上張力的豎直分量始終等于小球的重力：Tcosθ=mg；
解得：T=

mg

cosθ

=12.5N．
ω₁≤ω≤ω₂時細線AB松弛，細線AC上張力的水平分量等于小球做圓周運動需要的向心力，則有：
  Tsinα=mω²lsinα，T=mω²l
ω＞ω₂時，細線AB在豎直方向繃直，仍然由細線AC上張力的水平分量提供小球做圓周運動需要的向心力：Tsinθ'=mω²lsinθ'T=mω²l
綜上所述：ω≤ω1=

5

2

2

rad/s時，T=12.5N不變；ω＞ω₁時，T=mω²l=ω²（N），T-ω²關(guān)系圖象如圖所示             

答：（1）角速度ω₁的大小為

5

2

2

rad/s；（2）此時角速度ω₂的大小為

50 3

rad/s；（3）計算見上，在坐標圖中畫出細線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系圖象如圖所示．

點評：解決本題的關(guān)鍵理清小球做圓周運動的向心力來源，確定小球運動過程中的臨界狀態(tài)，運用牛頓第二定律進行求解．