Question

（2008?廣州模擬）兩端開口、內(nèi)壁光滑的直玻璃管MN豎直固定在水平面上，a、b二個(gè)小球，直徑相等，略小于玻璃管的內(nèi)徑，且遠(yuǎn)小于玻璃管的長(zhǎng)度，大小可忽略不計(jì)；a、b兩球的質(zhì)量分別為m₁和m₂（m₁=2m₂）．開始時(shí)，a球在下b球在上兩球緊挨著在管口M處由靜止同時(shí)釋放，a球著地后立即反彈，其速度大小不變，方向豎直向上，與b球相碰，接著b球豎直上升．設(shè)兩球碰撞時(shí)間極短、碰撞過程中總動(dòng)能不變，在b球開始上升的瞬間，一質(zhì)量為m₃的橡皮泥在M處自由落下，如圖所示．b與c在管中某處相遇后粘在一起，要使b、c粘合后能夠豎直飛出玻璃管口，則m₂與m₃之比必須滿足什么條件？

Answer 1

分析：兩球落到底端后相碰的過程中動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒求出碰后兩球的速度，根據(jù)位移公式求出b、c相碰前的速度，結(jié)合動(dòng)量守恒定律求出碰后的速度，要使b、c粘合體能飛出管口，則c與b碰后的速度必須豎直向上，且大小大于C碰撞前的速度，根據(jù)該關(guān)系求出m₂與m₃之比必須滿足的條件．

解答：解：設(shè)管長(zhǎng)為H，取向下為正方向，則a、b兩球到達(dá)玻璃管底端時(shí)，速度都為v0=

2gH

①
a球著地后反彈，速度為va1=-v0=-

2gH

②
a、b兩球相碰，總動(dòng)量守恒   m₁v_a1+m₂v₀=m₁v_a2+m₂v_b1
總動(dòng)能守恒  

1

2

m1

v

2 a1

+

1

2

m2

v

2 0

=

1

2

m1

v

2 a2

+

1

2

m2

v

2 b1

④
聯(lián)立①至④式，并代入m₁=2m₂，解得   va2=

1

3

v0，vb1=-

5

3

v0⑤
設(shè)c在M處下落經(jīng)t時(shí)間后與b相碰，則-(vb1t+

1

2

gt2)+

1

2

gt2=H解得   t=

H

-vb1

⑥
碰撞前b、c的速度分別為 vb2=vb1+gt=

41

9

?

gH

vb1

⑦
b與c相碰，總動(dòng)量守恒   m₂v_b2+m₃v_c1=（m₂+m₃）v_bc⑧
要使b、c粘合體能飛出管口，則c與b碰后的速度必須豎直向上，且大小大于v_c1，取v_bc=-v_c1，代入上式，
得  m2?

41

9

?

gH

vb1

-m3?

gH

vb1

=(m2+m3)

gH

vb1

⑨
解得b、c兩者質(zhì)量之比為    

m2

m3

=

9

16

⑩
因此要使b、c粘合后能夠豎直飛出玻璃管口，必須滿足條件 

m2

m3

＞

9

16

．
答：必須滿足條件

m2

m3

＞

9

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了動(dòng)量守恒守恒定律、能量守恒定律以及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，是一道難題，關(guān)鍵理清運(yùn)動(dòng)過程，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．