Question

5．如圖所示，在xOy平面的第一象限有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，電場(chǎng)的方向平行于y軸向下；在x軸和第四象限的射線OC之間有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于紙面向外，大小為B，OC與x軸的夾角為ϕ=30°．有一質(zhì)量為m，帶有電荷量+q的質(zhì)點(diǎn)從電場(chǎng)中的A點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，質(zhì)點(diǎn)由電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)重力影響．
（1）若質(zhì)點(diǎn)第一次進(jìn)入磁場(chǎng)并垂直于磁場(chǎng)邊界的OC射線飛離磁場(chǎng)，試確定A點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)x、y的關(guān)系式；
（2）若質(zhì)點(diǎn)第一次進(jìn)入磁場(chǎng)后軌跡與磁場(chǎng)邊界的OC射線相切但未從切點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，已知A點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)分別為a、b，求質(zhì)點(diǎn)在電、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子先在電場(chǎng)中直線加速，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解末速度；進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于垂直O(jiān)C射出，故可以確定圓心為O點(diǎn)，得到軌道半徑，然后結(jié)合牛頓第二定律列式分析A點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)x、y的關(guān)系式；
（2）若質(zhì)點(diǎn)第一次進(jìn)入磁場(chǎng)后軌跡與磁場(chǎng)邊界的OC射線相切，畫(huà)出軌跡，向上進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻變速直線運(yùn)動(dòng)后返回，再次做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出軌跡，得到圓心角，根據(jù)公式t=$\frac{θ}{2π}T$求解在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；對(duì)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律列式求解加速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)公式列式求解時(shí)間，最后得到總時(shí)間．

解答 解：（1）對(duì)直線加速過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
$qEy=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示：
結(jié)合幾何關(guān)系，有：r=x
根據(jù)牛頓第二定律，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
聯(lián)立解得：y=$\frac{2mE}{q{B}^{2}}•{x}^{2}$
（2）粒子在電場(chǎng)中是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
設(shè)進(jìn)入磁場(chǎng)的圓軌道半徑為r，O點(diǎn)與該圓軌道圓心的距離為2r，故O點(diǎn)為第二次進(jìn)入磁場(chǎng)的圓形軌跡的圓心；
故粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：t₁=$\frac{\frac{π}{6}+π}{2π}T$=$\frac{\frac{π}{6}+π}{2π}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{7πm}{6qB}$
在電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的加速度為：a=$\frac{qE}{m}$
對(duì)勻加速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)位移公式，有：t=$\sqrt{\frac{2b}{a}}$=$\sqrt{\frac{2bm}{qE}}$
故電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：t₂=3t=3$\sqrt{\frac{2bm}{qE}}$
故在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：t_總=t₁+t₂=$\frac{7πm}{6qB}$+3$\sqrt{\frac{2bm}{qE}}$
答：（1）若質(zhì)點(diǎn)第一次進(jìn)入磁場(chǎng)并垂直于磁場(chǎng)邊界的OC射線飛離磁場(chǎng)，A點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)x、y的關(guān)系式為y=$\frac{2mE}{q{B}^{2}}•{x}^{2}$；
（2）若質(zhì)點(diǎn)第一次進(jìn)入磁場(chǎng)后軌跡與磁場(chǎng)邊界的OC射線相切但未從切點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，質(zhì)點(diǎn)在電、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為$\frac{7πm}{6qB}$+3$\sqrt{\frac{2bm}{qE}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，關(guān)鍵是畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，分直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行討論，結(jié)合幾何關(guān)系、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解，不難．