Question

（22分）如圖甲所示，在xOy坐標(biāo)平面的第一象限（包括x、y軸）內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀、方向垂直于xOy平面且隨時(shí)間做周期性變化的勻強(qiáng)磁場，如圖乙所示，規(guī)定垂直xOy平面向里的磁場方向?yàn)檎�。在y軸左側(cè)有一對(duì)豎直放置的平行金屬板M、N，兩板間的電勢差為U₀。一質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子（重力和空氣阻力均忽略不計(jì)），從貼近M板的中點(diǎn)無初速釋放，通過N板小孔后從坐標(biāo)原點(diǎn)O以某一速度沿x軸正方向垂直射入磁場中，經(jīng)過一個(gè)磁場變化周期T₀（T₀未知）后到達(dá)第一象限內(nèi)的某點(diǎn)P，此時(shí)粒子的速度方向恰好沿x軸正方向。

（1）求粒子進(jìn)入磁場作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)半徑；
（2）若粒子在t=0時(shí)刻從O點(diǎn)射入磁場中，求粒子在P點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值y_m及相應(yīng)的磁場變化周期T₀的值；
（3）若在上述（2）中，第一象限內(nèi)y=y_m處平行x軸放置有一屏幕，如圖甲，磁場變化周期為上述（2）中T₀，但M、N兩板間的電勢差U可以在U₀<U<9U₀范圍內(nèi)變化，粒子仍在t=0時(shí)刻從O點(diǎn)射入磁場中，求粒子可能擊中的屏幕范圍。

Answer 1

解：（1）設(shè)粒子被電場加速獲得速度大小為v₀，根據(jù)動(dòng)能定理qU₀=mv₀²
解得：v₀=.
帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場后做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，q v₀B₀=m，
解得r=。
（2）設(shè)帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)周期為T，則有T==。
如圖所示，粒子在P點(diǎn)y坐標(biāo)值最大，據(jù)幾何知識(shí)有，OO₁=PO₂=r，
O₁O₂=2r，則AO₁=r。
P點(diǎn)縱坐標(biāo)最大值y_m= OO₁ +AO₁+PO₂=(2+).
由幾何關(guān)系知α=60°，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)過α+90°=150°，磁場開始改變方向，即磁場變化半個(gè)周期內(nèi)粒子運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過150°角，則=T=.
（3）由U₀≤U≤9 U₀可得粒子速度v₀≤v≤3 v₀。
粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)半徑：r≤R≤3r。
由幾何關(guān)系可得，在屏幕上擊中的屏幕范圍最左端軌跡如圖2所示，該點(diǎn)橫坐標(biāo)x₁=0；
由幾何關(guān)系可得，在屏幕上擊中的屏幕范圍最右端軌跡如圖3所示，
由(y_m- R_m)²+x₂²=R_m²
解得該點(diǎn)橫坐標(biāo)x₂=r=；
粒子可能擊中的屏幕范圍為：0≤x≤。

應(yīng)用動(dòng)能定理、洛倫茲力公式、牛頓運(yùn)動(dòng)定律及其相關(guān)知識(shí)列方程解答。