Question

19．小球A用不可伸長的輕繩懸于O點，在O點的正下方有一個可上下移動的釘子B，OB=d，初始時小球A與O同水平面無初速釋放，繩長為L，為使球能繞B點做完整的圓周運動，試求d的取值范圍．若繩能夠承受的最大拉力為7mg，為保證球仍能繞B點做完整的圓周運動，d的取值范圍又是多少？

Answer 1

分析 根據(jù)圓周運動的最高點的臨界情況得出最高點的臨界速度，通過最高點到D點運用動能定理列出表達式，從而結(jié)合幾何關(guān)系求出d的取值范圍．
根據(jù)最低點的最大拉力，結(jié)合牛頓第二定律列出表達式，再根據(jù)動能定理以及幾何關(guān)系求出d的取值范圍．

解答 解：（1）在D點有：$mg=m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{r}$…①
從最高點到D點，根據(jù)動能定理有：$mg（L-2r）=\frac{1}{2}mv_D^2$…②
由①②解得：$r=\frac{2}{5}L$，
可知$d=L-r=\frac{3}{5}L$，
所以要使B完成完整的圓周運動，則d的范圍為：$\frac{3}{5}L$≤d＜L                  
（2）右繩的拉力T=7mg，根據(jù)牛頓第二定律有：$7mg-mg=m\frac{v^2}{r}$，
從最高點到最低點C，根據(jù)動能定理有：$mgL=\frac{1}{2}mv_C^2$，
聯(lián)立解得：$r=\frac{L}{3}$，$d=\frac{2}{3}L$
所以$\frac{3}{5}L$≤d≤$\frac{2}{3}L$．
答：為使球能繞B點做完整的圓周運動，d的范圍為$\frac{3}{5}L$≤d＜L；若繩能夠承受的最大拉力為7mg，為保證球仍能繞B點做完整的圓周運動，d的取值范圍是$\frac{3}{5}L$≤d≤$\frac{2}{3}L$．

點評 本題考查了牛頓第二定律和動能定理的綜合運用，關(guān)鍵抓住恰好通過最高點的臨界情況以及最低點的最大拉力進行求解．