Question

19．如圖所示，AO、BO、CO、AD是豎直面內(nèi)四根固定的光滑細(xì)桿，與水平面的夾角依次是60°、45°、30°和90°，每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)（可視為質(zhì)點(diǎn)，圖中未畫(huà)出），四個(gè)滑環(huán)分別從各細(xì)桿頂端無(wú)初速釋放（運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各環(huán)互不影響），用t₁、t₂、t₃、t₄分別表示細(xì)桿AO、BO、CO、AD上的滑環(huán)到達(dá)底端所用的時(shí)間，則t₁、t₂、t₃、t₄的大小關(guān)系是t₁=t₃＞t₂＞t₄．

Answer 1

分析 研究斜面是任意角時(shí)滑環(huán)運(yùn)動(dòng)到O所用的時(shí)間，由牛頓第二定律得出滑環(huán)的加速度，由位移公式得到時(shí)間與斜面傾角的關(guān)系，由數(shù)學(xué)知識(shí)分析時(shí)間的關(guān)系．

解答 解：設(shè)OD=d，任意一斜面的傾角為α，設(shè)滑環(huán)在斜面上下滑的加速度為a，滑環(huán)從斜面的頂點(diǎn)滑到O的時(shí)間為t．
由牛頓第二定律得：a=$\frac{mgsinα}{m}$=gsinα，滑環(huán)從斜面的頂點(diǎn)滑到D的位移為 x=$\fracpnzlxbv{cosα}$．
由x=$\frac{1}{2}$at²得，t=$\sqrt{\frac{2x}{a}}$=$\sqrt{\frac{2d}{cosα•gsinα}}$=$\sqrt{\frac{4d}{gsin2α}}$
由數(shù)學(xué)知識(shí)得知，sin（2×60°）=sin（2×30°），sin（2×45°）=1最大，則知t₁=t₃＞t₂．
滑環(huán)在AD上的滑環(huán)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，由 $\sqrt{3}$d=$\frac{1}{2}g{t}_{AD}^{2}$，得 t_AD=$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}d}{g}}$
到達(dá)D點(diǎn)的速度大小為 v=gt_AD=$\sqrt{2\sqrt{3}gd}$
從D到O的時(shí)間 t_DO=$\fracf9nhb97{v}$=$\sqrt{\fracbtfzdnn{2\sqrt{3}g}}$
故 t₄=t_AD+t_DO=$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}d}{g}}$+$\sqrt{\fracbp93xpl{2\sqrt{3}g}}$＜$\sqrt{\frac{4d}{g}}$=t₂
綜上有 t₁=t₃＞t₂＞t₄
故答案為：t₁=t₃＞t₂＞t₄．

點(diǎn)評(píng) 本題是牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵要抓住三個(gè)過(guò)程相同的量表示位移和加速度，從而表示出時(shí)間．