Question

如圖所示，兩足夠長(zhǎng)的直平行水平導(dǎo)軌相距L=1.0m，導(dǎo)軌左邊連接阻值R=15Ω的電阻，導(dǎo)軌上放置著A、B兩金屬捧，A棒質(zhì)量m_A=0.75kg、電阻R_A=10Ω，B棒質(zhì)量m_B=0.25kg、電阻R_B=10Ω，兩金屬棒與導(dǎo)軌垂直，兩棒靠得很近，之間用長(zhǎng)為l=4.0m的絕緣輕繩相連，整個(gè)裝置置于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=1.0T、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．從t=0開始對(duì)B棒施加水平向右的拉力F，使B棒由靜止開始以a=2.0m/s₂的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)，t=2.0s時(shí)撤去拉力F．已知A棒右邊的導(dǎo)軌是光滑的，輕繩繃緊前A棒靜止不動(dòng)，輕繩繃緊后，兩棒以相同速度運(yùn)動(dòng)直至停止．導(dǎo)軌電阻不計(jì)．求：
（1）拉力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系式；
（2）輕繩繃緊后，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出棒的速度表達(dá)式，結(jié)合電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式、安培力的表達(dá)式和閉合電路的歐姆定律，即可求得F隨時(shí)間變化的關(guān)系；
（2）繩子繃緊的瞬間，A與B組成的系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，寫出表達(dá)式求得共同的速度，然后根據(jù)功率的分配求出電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．

解答：解：（1）B棒運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速度為：v=at
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv
電路總電阻為：R總=

RRA

R+RA

+RB=

10×10

10+10

Ω+15Ω=25Ω
感應(yīng)電流：I=

E

R總

金屬棒B受安培力為：F_安=BLI
對(duì)金屬棒，由牛頓定律得：F-F_安=ma
從而解得F隨t變化的關(guān)系式為：F=

1

2

(1+

t

4

)，t≤2.0s
（2）2.0s內(nèi)B棒發(fā)生的位移為：x=

1

2

at2=4.0m，即撤去拉力F時(shí)繩恰好繃緊．
t=2.0s時(shí)棒的速度：v=at=2×2m/s=4m/s；
繩拉緊的過(guò)程中，由于時(shí)間短，可以看做動(dòng)量守恒，得：
m_Bv=（m_A+m_B）v₁
所以：v1=

mvB

mA+mB

=

0.25×4

0.75+0.25

m/s=1m/s
設(shè)某時(shí)刻電路中的電流為I，則流過(guò)A和B的電流：IA=IB=

1

2

?I
A和B上的電功率：PA=PB=(

I

2

)2×RA=2.5I2
電阻R上的電功率：PR=I2?R=15I2
所以：P_R=6P_A=6P_B
輕繩繃緊后，兩棒以相同速度運(yùn)動(dòng)直至停止的過(guò)程中，棒的總動(dòng)能轉(zhuǎn)化為棒和電阻上的內(nèi)能．
由于各處的電流的分配關(guān)系不變，所以各處產(chǎn)生的內(nèi)能的分配關(guān)系和電功率的分配關(guān)系是相同的，所以得：
QR+QA+QB=

1

2

mA

v

2 1

+

1

2

mB

v

2 1

；
Q_R=6Q_A=6Q_B
代入數(shù)據(jù)得：Q_R=0.375J
答：（1）拉力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系式F=

1

2

(1+

t

4

)；
（2）輕繩繃緊后，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為0.375J．

點(diǎn)評(píng)：金屬棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服安培力做功，把金屬棒的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為焦耳熱，在此過(guò)程中金屬棒做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)；對(duì)棒進(jìn)行受力分析、熟練應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、動(dòng)能定理等正確解題．