Question

15．甲、乙兩顆衛(wèi)星繞同一行星做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向相同，如圖所示，衛(wèi)星甲的周期為T(mén)₁，衛(wèi)星行星乙的周期為T(mén)₂．若T₂＞T₁，在某一時(shí)刻t₀兩顆衛(wèi)星相遇（兩衛(wèi)星距離最近），問(wèn)：
（1）至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，兩顆衛(wèi)星又相遇？
（2）至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，兩衛(wèi)星距離最遠(yuǎn)？

Answer 1

分析 兩行星相距最近時(shí)，兩行星應(yīng)該在同一半徑方向上；兩行星相距最遠(yuǎn)時(shí)，兩行星應(yīng)該在同一直徑上；由于A的軌道半徑小，所以A的角速度大，即A轉(zhuǎn)得較快；當(dāng)A比B多轉(zhuǎn)一圈時(shí)兩行星再次相距最近；當(dāng)A比B多轉(zhuǎn)半圈時(shí)兩行星相距最遠(yuǎn)．

解答 解：（1）由題意知，兩衛(wèi)星周期滿足T₁＜T₂
某時(shí)刻兩衛(wèi)星相距最近，則可知經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁兩衛(wèi)星再次相距最近時(shí)，A衛(wèi)星比B衛(wèi)星多轉(zhuǎn)過(guò)2π弧度，即有：$（\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}）{t}_{1}=2π$
所以可得：${t}_{1}=\frac{2π}{\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}}$=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$
（2）同理當(dāng)兩顆衛(wèi)星經(jīng)過(guò)時(shí)間t₂兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時(shí)，A衛(wèi)星比B衛(wèi)星多轉(zhuǎn)過(guò)π弧度，即有：
$（\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}）{t}_{2}=π$
所以可得：${t}_{2}=\frac{π}{\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}}$=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{2}-{T}_{1}）}$
答：（1）經(jīng)$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$兩行星再次相距最近
（2）經(jīng)$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{2}-{T}_{1}）}$兩行星相距最遠(yuǎn)．

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)幾何關(guān)系得到兩顆衛(wèi)星相距最近和相距最遠(yuǎn)所滿足的角度關(guān)系，最近時(shí)兩衛(wèi)星在同一半徑上角度差為2π弧度，衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時(shí)，兩衛(wèi)星在同一直徑上，轉(zhuǎn)過(guò)的角度差為π弧度，這是解決本題的關(guān)鍵．